¿Por qué es conexión mapa de $\Gamma(E)$ $\Omega^1\otimes\Gamma(E)$?

Question

En el sitio Vector Paquete de Conexión, da dos definiciones de una conexión.

Uno es la opinión de una relación lineal en el mapa de una sección de la $E\otimes TM$ a una sección de $E$: $$ D:\Gamma(E\otimes TM)\rightarrow\Gamma(E) $$

Puedo entender esta definición, el pensamiento de una conexión como una direccional de la directiva: $$ v\otimes w\mapsto D_vw $$

Sin embargo, no puedo entender a la otra definición, y que es aparentemente más comunes: $$ D:\Gamma(E)\mapsto\Gamma(E\otimes T^*M)=\Gamma(E)\otimes\Omega^1 $$

¿Alguien puede explicarme cómo tales mapa funciona? Dado un vector en $\Gamma(E)$, ¿cuál es la imagen de él?

Además, en el sitio arriba hay un ejemplo acerca de la conexión en un trivial paquete, diciendo que

Cualquier conexión en el trivial bundle $E=M\times\mathbb{R}^k$es de la forma $\nabla s=ds+s\otimes\alpha$ donde $\alpha$ es una forma de valor en Hom($E,E$).

Sin embargo, no lo entiendo. Creo $ds$ es un elemento de la doble paquete de $E$, pero $s\otimes\alpha$ es no, aunque no puedo precisar a qué espacio se $s\otimes\alpha$ pertenece, ¿cómo pueden ser añadidos?

Answer 1

Esta definición indica que una conexión se lleva a un campo de vectores en $\Gamma(E)$ y se produce una $E$valores de un formulario. Una $E$valores de un formulario (una sección de $\Gamma(E)\otimes \Omega^1$), es una bestia que lleva en un campo de vectores y produce una sección de $E$ en un tensorial de la moda (es decir, que es lineal en las funciones lisas).

Así, en particular, si usted tiene una derivada covariante $v\otimes s\to D_vs$, usted debe pensar de esta definición como un "diferencial": $$ s \mapsto Ds: \big( v \mapsto D_vs\big).$$

En cuanto a las coordenadas local de expresión, $\alpha$ es un formulario con los valores en $\operatorname{Hom}(E,E)$. Es decir, es un endomorfismo de valores de una forma: Se toma un vector en un punto de $p$ y se produce una lineal mapa de $E_p\to E_p$. Creo que de $s\otimes\alpha$ como un operador de multiplicación que contienen símbolos de Christoffel de la misma manera que una derivada covariante pueden ser localmente expresado como $Dw = dw + \sum w_k\Gamma^k_{ij}$.

Answer 2

Realmente no es correcto pensar de conexiones como mapas de $\Gamma\left(E\otimes TM\right)\to\Gamma\left(E\right)$, debido a la interacción entre el $E$ $TM$ entradas no es $C^{\infty}\left(M\right)$-multilineal. Más precisamente, $s\otimes\left(fu\right)=\left(fs\right)\otimes u$, así que si la conexión factorizada a través del tensor de producto que debe tener $D_{fu}s=D_{u}fs$; pero $D_{fu}s=fD_{u}s$ no es igual a $D_{u}fs=\left(uf\right)s+f$$D_{u}s$ en general. Por lo tanto, si usted quiere "mantener las entradas entre sí", usted no puede ir más allá de pensar de la conexión, como un mapa de $\Gamma\left(E\right)\times\Gamma\left(TM\right)\to\Gamma\left(E\right)$.

Ahora, la otra interpretación es correcta y común - dado una sección de $s\in\Gamma\left(E\right)$, la derivada de $s$ es un $E$valores de un formulario. Para una sección de $s\in\Gamma\left(E\right)$, su la imagen es el mapa $Ds:\Gamma\left(TM\right)\to\Gamma\left(E\right):u\mapsto D_{u}s$. Este mapa es $C^{\infty}\left(M\right)$-lineal, por lo que podemos en hecho de interpretar como un elemento de $\Gamma\left(E\otimes T^{*}M\right)$.