Primes de la forma$p_{i_1}p_{i_2}\cdots p_{i_n}+2k$

Question

Sea $S{n,k}$ el conjunto de todos los números que pueden escribirse como producto de primos impares de $n$ y $2k$. ¿Hay números enteros $n>1$ y $k>1$ tal que $S{n,k}$ contiene un número finito de números primos?

Answer 1

Suponiendo Schinzel de la Hipótesis H, estos conjuntos son siempre infinitas:

Paso 1: Vamos a $t$ ser el producto de $n-1$ números primos tales que $\gcd(t,2k)=1$.

Paso 2: Deje $f(x)=x$$g(x)=tx+2k$. Definir $Q(x)=x(tx+2k)$.

Hipótesis H afirma que si $Q(x)$ no tiene fijo el primer divisor $q$, $f(x)$ $g(x)$ son a la vez, el primer un número infinito de veces.

Paso 3: Si $x=1$ $q$ divide $Q(x)=t+2k$, y por lo tanto $q$ es impar. Si $x=2$, $q$ divide $Q(x)=2(2t+2k)$, y por lo tanto $q$ divide $t+k$.

Paso 4: Desde $q$ divide tanto a a$t+2k$$t+k$, nos encontramos con $q$ divide tanto a a$k$$t$, contradiciendo ese $\gcd(t,2k)=1$.

Por lo tanto $Q(x)$ no tiene fijo divisor primo, y la Hipótesis H se aplica. Así, desde la $g(x)$ tiene la forma deseada, llegamos a la conclusión de que $|S_{k,n}|=\infty$.