Yo estaba tratando de hacer los ejercicios en Apostol del Cálculo. He tratado de responder a un ejercicio para encontrar la integral indefinida de $\int x\sqrt{1+3x} dx$ a través de la sustitución. He sido capaz de hacerlo a través de la integración por partes, pero con la sustitución, no tengo ni idea de cómo hacerlo.
He de google para algo y encontré esto (aquí):
Mi problema es que según el libro, la integración por sustitución se basa en la regla de la cadena y, por lo tanto:
$$\int f(g(x))g'(x)dx =F(g(x))+C\tag{1}$$
Si he entendido correctamente, el Apóstol instruye a reescribir la función de ser integrado en la forma $f(g(x))g'(x)$ y, a continuación, utilizar $(1)$. Mi problema es que no veo la forma $f(g(x))g'(x)$ en la respuesta dada por el enlace/imagen que proporciona, por lo que estoy empezando a pensar que la forma $f(g(x))g'(x)$ puede ser algo un poco más complicado de lo que yo pensaba.
También he intentado conseguir un paso a paso de la solución con Mathematica/Wolfram Alpha. Esta aclarado un poco más de lo que yo estaba pensando:
Aquí, después de hacer las sustituciones apropiadas, yo también no veo la forma$f(g(x))g'(x)$, pero hay un punto importante: parece que las sustituciones deben realizarse en una forma en que si te sustituya, es decir, si pones el $3x+1$ en el lugar de $u$ $3$ en lugar de $du$, después de la expansión, que debería ser la expresión con el que comenzó. Esto parece ser bastante más amplio y más vago que encontrar la forma $f(g(x))g'(x)$, pero parece más honesto (teniendo en cuenta lo que sé en este momento). Así, tal vez Es mi stupidness, pero ¿dónde está el formulario de $f(g(x))g'(x)$ en estos dos procesos de integración?
Como un ejemplo de una integral donde es fácil ver la forma $f(g(x))g'(x)$, veamos:
$$\int x\sqrt{1+3x^2}dx$$
Entonces podemos escribir:
$$\int \overbrace{6x}^{g'(x)}\overbrace{\sqrt{\overbrace{1+3x^2}^{g(x)}}}^{f(x)} dx$$
Y a partir de aquí, sería fácil continuar. Pero en las dos soluciones que he proporcionado, yo soy incapaz de ver este formulario.
