Calcular la distancia de un punto a una línea

Question

Por favor, alguém me ajude com essa questão de Geometria:

---

¿Por favor, alguien me puede ayudar con esta pregunta de geometría?

Dado el punto $A(3,4,-2)$ y la línea $$r:\left{\begin{array}{l} x = 1 + t \ y = 2 - t \ z = 4 + 2t \end{array} \right.$ $ calcular la distancia desde $A$ $r$. (Respuesta: $\sqrt{20}$)

Answer 1

Pra encontrar un distância de um ponto à uma reta faça o seguinte: Pegue um ponto qualquer da reta, digamos, $P$. Entao calcule o vetor $\vec{PA} = A - P$. Después, calcule un projeção deste vetor sobre una reta $r$, usando una fórmula: $$\mathrm{proj}_v \vec{PA} = \frac{\vec{PA} \cdot v}{v \cdot v}~v$$ onde $v$ é o vetor diretor da reta dada. Assim, o vetor $w = \vec{PA} - \mathrm{proj}_v \vec{PA}$ é perpendicular à reta. Lástima que está en $s$ otra reta, dada por $$s: X = A + tw, \quad t \in \Bbb R$$ Dolor de un interseção entre como retas $r$ e $s$, chamemos esse ponto de $B$. Un distância entre $A$ e $B$ é a distância procurada. Siga os passos com calma que você deve conseguir.

---

Neste sitio, é melhor sempre postar como dúvidas em espanhol. Você deu sorte que eu sei português e apareci aqui, mas nem sempre vai aparecer alguém que saiba!

---

---

En inglés: hallar la distancia del punto a la línea, hacer lo siguiente: tomar cualquier punto de la línea, vamos a llamar a $P$. A continuación, encontrar el vector $\vec{PA} = A - P$. Después, calcule la proyección de este vector sobre la línea de $r$, utilizando la fórmula $$\mathrm{proj}_v \vec{PA} = \frac{\vec{PA} \cdot v}{v \cdot v}~v$$ donde $v$ es la dirección de la línea dada. De esta manera, el vector $w = \vec{PA} - \mathrm{proj}_v \vec{PA}$ es ortogonal a la línea. Deje $s$ ser otra línea, dado por $$s: X = A + tw, \quad t \in \Bbb R$$ Encontrar la intersección entre las líneas de $r$$s$, y vamos a llamar a este punto de $B$. La distancia entre la $A$ $B$ es la distancia que usted busca. Siga los pasos con calma y se debe administrar.

---

En este sitio, es mejor siempre hacer sus preguntas en inglés. La suerte que yo sepa portugués y llegué aquí, pero no siempre aparecerá alguien que lo hacen!

Answer 2

Considerar el $\vec{PA}=(-2,-2,-6)$ del vector y el vector que da la dirección de la línea $\vec{v}=(1,-1,2).$ estos dos vectores forman un paralelogramo y la altura de este paralelogramo es la distancia entre el punto y la línea (ya que la distancia se realiza en la dirección perperdicular a la línea a través de $A$). Ahora, para obtener la altura del paralelogramo dividimos su área por la base, es decir

$$\frac{|\vec{PA}\times \vec{v}|}{|\vec{v}|}.$$

Usted calcular

$$\vec{PA}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ -2 & -2 & - 6\ 1 & -1 & 2\end{array}\right|,$$ get its module, divide by the module of $\vec{v}$ y usted tiene la solución deseada.

Answer 3

Que $P(t)$ es un punto de la línea, $\vec v$ a la dirección de una línea. Tomar $\vec{AP}$ y solicitar ser normal $\vec v$: $$\vec{AP} \cdot \vec v = 0.$$ Solve it for $t $, substitute the $t $ to $P (t) $ and calculate $ AP = | \vec{AP}|. $ Hecho.