No existe ninguna biyección Baire entre $\mathbb R$ y el conjunto de funciones $\mathbb Z\to\mathbb R$ modulo cambios

Question

Que $X$ denota el conjunto de $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ (el conjunto de todas las funciones de enteros reales) y $\sim$ la relación de equivalencia en $X$ definido por:

$f \sim g$ iff allí es un $z \in \mathbb{Z}$ tales que para todos los $z' \in \mathbb{Z}: f(z'+z) = g(z')$.

Considerar que el cociente establecido $X/\sim$.

Hace algunos años, Mike Oliver hizo la observación que ningún bijection entre $X/\sim$y $\mathbb{R}$ podría ser una función de Baire.

Podría hacer con un toque (o dos) sobre cómo demostrar que.

Answer 1

Olvídese de los $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$; basta con mirar a $2^\mathbb{Z}$.

Consejo 1: cualquier conjunto de $A\subseteq 2^\mathbb{Z}$ que tiene la propiedad de Baire y que es $\sim$-saturado (en el sentido que $x\in A$, $x\sim y$ $y\in A$) implica debe ser pobre o comeager.

Consejo 2: si $f : 2^\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ Baire-medible y constante en cada clase de equivalencia $\sim$, pensar podría ser qué $f^{-1}(U)$, donde $U$ alcances sobre abren sets. Tal vez hacer algo con una base contable $\mathbb{R}$...

Espero que esto es bastante de un toque.