Las funciones de Morse y la suma conectada

Question

Mi pregunta está estrechamente relacionada con este post , pero es ligeramente diferente.

Deje $M_1$ $M_2$ dos liso cerrado $n$-colectores de tal forma que hay una función de Morse $f_i:M_i\rightarrow \mathbb R$$i=1,2$. Por otra parte supongamos que $\mu_k(f_i)$ es el número de puntos críticos de índice$k$$f_i$$k=0,\ldots,n$.

Si $X:=M_1\#M_2$ está conectado suma, me gustaría encontrar una función de Morse $F:X\rightarrow \mathbb R$ tal que $$\mu_k(F)=\mu_k(f_1)+\mu_k(f_2)\quad\text{for}\; k=1,\ldots, n-1$$ (observe que el rango del índice de $k$$1$$n-1$)

Preste atención: no quiero necesariamente los puntos críticos de $F$ a ser la unión de los puntos críticos de $f_1$$f_2$.

¿Cómo puedo construir una $F$?

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Edit: entiendo que necesito pegamento $M_1$ $M_2$ cerca de un máximo y un mínimo, pero luego no sé cómo se construye $F$. Al $f_1$ $f_2$ son de alturas en $\mathbb R^n$ la imagen geométrica está claro, pero no sé cómo lidiar con el caso general.

Answer 1

Deje $D_i\subseteq M_i$ ser pequeña, abierta y discos alrededor del máximo y mínimo respectivamente.

Entonces podemos escribir la suma como conectado $M_1 + M_2 = (M_1\setminus D_1) \sqcup_{\partial D_1=S^{n-1}\times\{1\}} (S^{n-1}\times [1,2]) \sqcup_{S^{n-1}\times\{2\} = \partial D_2} (M_2\setminus D_2)$

Ahora esto funciona para todos los pequeños discos alrededor de esos puntos. Pero sabemos que hay discos en los que $f_i$ es sólo la función $x\mapsto f(0) +\|x\|^2$ (o $x\mapsto f(0)-\|x\|$ respectivamente). En particular: $f_i$ es constante en $\partial D_i$. Esto significa que podemos unir $f_1$ $f_2$ mediante la definición de una función suave $S^{n-1}\times[1,2] \to \mathbb{R}$ que solo depende de que el segundo parámetro, no en el $S^{n-1}$ parámetro, y se extiende $f_1$ (definida en un barrio de $S^{n-1}\times\{1\}$) y $f_2$ (definida en una vecindad de a $S^{n-1}\times\{2\}$).

Esta conexión de la función puede ser elegido para ser monótona creciente (w.r.t. el $[1,2]$-parámetro) desde el máximo de $f_1$ para el mínimo de$f_2$, de modo que el compuesto $F$ no tiene puntos críticos en la conexión del cilindro.