¿Es un límite directo de grupos topológicos siempre un grupo topológico?

Question

Si $(G_i,f_{ij})$ es un sistema directo de grupos topológicos, ¿es siempre el caso que el límite directo topológico-teórico de grupos $G:=\varinjlim_iG_i$ ¿es un grupo topológico? (La topología en $G$ es la topología final con respecto a los homomorfismos canónicos $\psi_i:G_i\rightarrow G$ ). Es inmediato a partir de la estructura de grupo en $G$ y la definición de su topología que el mapa de inversión es continuo. Además, estoy bastante seguro de que si los mapas de transición $f_{ij}$ están abiertos, entonces el $\psi_i$ son abiertas, y esto da continuidad a la multiplicación. Sin embargo, no tengo nada claro que esta condición sea necesaria.

Siempre he asumido que esto era cierto, pero nunca ha sido un problema porque nunca empiezo con un sistema de grupos topológicos y tomo el límite directo; siempre tengo un grupo topológico y lo expreso como un límite directo (por ejemplo, el grupo ídem de un campo global, o el dual de Cartier de un campo libre finito $\mathbb{Z}_p$ -módulo).

Answer 1

Ejemplos de sistemas directos $(G_i,f_{i,j})$ de grupos topológicos para los que la topología límite directa NO hace $G:=\lim_{i \to \infty} G_i$ un grupo topológico se describen en el siguiente documento. N. Tatsuma, H. Shimomura y T. Hirai, On group topologies and unitary representations of inductive limits of topological groups and the case of the groups of diffeomorphisms, J. Math. Kyoto Univ., 38-3 (1998) 551-578. Sin embargo, en el mismo trabajo se establece (Teorema 2.7) que, si el conjunto de índices es contable y los grupos $G_i$ localmente compacto, entonces $G$ ES un grupo topológico.

Answer 2

Se pueden construir colímites mediante un procedimiento bastante general. Véase mi respuesta aquí .

Las topologías mencionadas por Agusti no son correctas. La continuidad de las leyes de grupo no se mantiene en general. El problema es que las topologías de cociente no conmutan con las topologías de producto.

Answer 3

El siguiente documento (disponible aquí )

R. Brown y J.P.L. Hardy, `Topological groupoids I: universal construcciones universales'', Matemáticas. Nachr. 71 (1976) 273-286.

trata el caso más general de los groupoides topológicos, y construye colímites por un método de tipo functor adjunto. Métodos similares se aplican a los grupos topológicos. Este método da muy poca sujeción a la topología real, pero sólo muestra que existe. Por otra parte, la propiedad que uno quiere a menudo es simplemente la propiedad universal.

Lo cierto es que en general la topología no viene dada por una topología de identificación, porque el producto de mapas de identificación no es en general un mapa de identificación.

Un procedimiento alternativo es el trabajo en lo que se denomina categoría conveniente de los espacios topológicos, es decir, uno que sea cartesiano cerrado. Un ejemplo es la categoría de los espacios generados de forma compacta. La propiedad cartesiana cerrada implica que el producto de los mapas de identificación en esta categoría es un mapa de identificación.