El conjunto de $M$ consiste en 2001 enteros positivos distintos, ninguno de los cuales es divisible por cualquier % primer $p > 23$. Demostrar que hay diferente $x, y, z, t \in M$, que $xyzt = u^4$ % entero $u$.
Supongo que algunos un poco argumento de principio del casillero debe ser útil, pero no puedo averiguar.
No una respuesta, sino un enfoque que creo que va a funcionar. Como dicen en los comentarios, cada uno de los números en $M$ corresponde a un nueve vector de posición con cada posición de los poderes de la $2,3,5,\ldots 23$ en la factorización del número reducido de $\bmod 4$. Estamos buscando a los cuatro vectores que se suma al vector cero cuando cada entrada se reduce a $\bmod 4$.
Ahora vamos a concentrarnos en la primera posición en el vector. Hay $2001 \choose 4$ maneras de elegir una de cuatro elemento subconjunto de $M$. Si los números en $M$ se distribuyen entre los cuatro residuos, las sumas que va a ser (casi) equidistributed entre $0,1,2,3$, lo $\frac 14$ de la suma será igual a cero. Mirando todas las entradas en el vector esperamos ${2001 \choose 4}\frac 1{4^9} \gt 2\ 500\ 000$ sumas a cero en todas las entradas.
Para evitar la equidistribución podemos tener todos los elementos de a $M$ en dos clases. Si la mitad de la entrada de $0$ y la mitad de la entrada de $1$ en una posición, la única manera de obtener una suma de cero es seleccionar todos los cuatro con la misma entrada. Esta es sólo $\frac 18$ de los grupos de cuatro, pero usted todavía consigue ${2001 \choose 4}\frac 1{8^9}\approx 4962$ se suma al vector cero.
Para hacer de este sólido, que no ser $a$ números con la primera entrada de $0, b$ con la primera entrada de $1, c$ con la primera entrada de $2,$ $d$ con la primera entrada de $3$. Ha $a+b+c+d=2001$. Para obtener una suma de $0$, se pueden seleccionar cuatro de la misma, dando a ${a \choose 4}+{b \choose 4}+{c \choose 4}+{d \choose 4}$ conjuntos, o de dos con residuo $1$ y dos con residuo $3$ dar ${b \choose 2}{d \choose 2}$ conjuntos, o un número de otras posibilidades. Usted necesita demostrar que, al menos, $\frac 1{20}$ de los juegos de suma cero porque $20^9 \lt {2001 \choose 4}$
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