Mostrar que $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x(x^2+1)} dx = \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{e}\right) $

Question

Estoy tratando de mostrar que

$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x(x^2+1)} dx = \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{e}\right) $$

el uso de Jordania lema y el contorno de integración.

MI INTENTO: La función en el integrando es par, así que tengo:

$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x(x^2+1)} dx =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x(x^2+1)} dx$$

No es un simple poste de $z=0$ y polos en $z=+i, z=-i$.

Un método en el capítulo en el que estoy trabajando (Ablowitz & Fokas secciones 4.2 y 4.3) generalmente se considera la integral

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{x(x^2+1)} dx=2\pi iRes\left(\frac{e^{ix}}{x(x^2+1)},z=i,-i,0\right)$$ Which when I compute results in $\dfrac{-(-1+e)^2\pi}{2}$, which is close but not quite the answer. (Notice that factored in another way the answer is also equal to $\dfrac{(-1+e)\pi}{2}$.

Pero no estoy seguro de si esto va a funcionar, en su lugar, otro ejemplo se crea un contorno $C_r+C_e+(-R,-e)+(R,e)$ que evita los polos y por lo tanto la integración de más de que los rendimientos de cero y me ayuda a conseguir mi respuesta. Por desgracia, este intento no me va a dar el valor correcto.

¿Alguno de ustedes la integración de genios por ahí no tiene nada para mí? Muchas gracias.

Answer 1

Ya que incluso es función, debemos evaluar $$ \int_{-\infty }^\infty \frac{\sin x}{x(x^2+1)}dx $$ Consideramos que la analítica de la función $$ F(z)=\frac{e^{i}}{z(z^2+1)} $$ en el contorno de $C=[-R,R]\cup C_R\cup \gamma_r$ donde $C_R$ es la mitad superior del círculo con un radio de $R$ $\gamma_r$ es el pequeño de la mitad superior del círculo con un radio de $r<1$ omitiendo $0$. Por Cauchy del teorema de los residuos, hemos $$ \int_{-R}^RF(x)dx+\int_{C_R}F(z)dz+\int_{\gamma_r}F(z)dz=2\pi iRes(F,i) $$ Tenga en cuenta que sólo la pole en el$C_R$$z=i$. Desde $$ Res(F,i)=\lim_{z\i}(z-i)F(z)=\lim_{z\i}\frac{e^{i}}{z(z+i)}=-\frac{e^{-1}}{2} $$ Tenemos $$ \int_{-R}^RF(x)dx+\int_{C_R}F(z)dz+\int_{\gamma_r}F(z)dz=-\frac{\pi i}{e}\tag1 $$ Por Jordania lema $$ \int_{C_R}|e^{iz}||dz|=2R\int_0^{\pi/2}e^{-I\sen t}\:dt<\pi $$ Por lo tanto $$ \left|\int_{C_R}F(z)dz\right|\leqslant \frac{R}{R^2-1}\int_{C_R}|e^{iz}||dz|<\frac{\pi R}{R^2-1}\to0 $$ como $R\to\infty$. Por otra parte $$ \int_{\gamma_r}F(z)dz=\int_{\gamma_r}\frac{e^{iz}}{z(z^2+1)}dz=\int_{\gamma_r}\left(\frac1{z}+g(z)\right)dz\tag2 $$ donde $$ g(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^nz^{n-1}}{n!}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{2n} $$ y es analítica para $|z|<1$. Desde $|g(z)|<M$ $|z|<1$ $$ \left|\int_{\gamma_r}g(z)dz\right|<\pi Mr\to0 $$ como $r\to0$. Y $$ \int_{\gamma_r}\frac1{z}dz=\int_{\pi}^{0}\frac{ire^{i\theta}}{re^{i\theta}}d\theta=-\pi i $$ Así por $(2)$ $$ \lim_{r\to0}\int_{\gamma_r}F(z)dz=\lim_{r\to0}\int_{\gamma_r}\frac1{z}dz+\lim_{r\to0}\int_{\gamma_r}g(z)dz=-\pi i $$ Por lo tanto, de $(1)$ $$ \int_{-\infty}^{\infty}F(x)dx=\pi i(1-\frac1{e}) $$ Y $$ \int_{-\infty }^\infty \frac{\sin x}{x(x^2+1)}dx=\Im{\int_{-\infty}^{\infty}F(x)dx}=\pi (1-\frac1{e}) $$ Así $$ \int_{0}^\infty \frac{\sin x}{x(x^2+1)}dx=\frac{\pi}{2} (1-\frac1{e}) $$

Answer 2

Vamos $$\begin{align} I(\alpha) &=\int_0^{\infty}\frac{\sin \alpha x}{x(1+x^2)}\,\mathrm{d}x \tag{1}\\ \mathcal{L}\left[ I(\alpha)\right] &= \int_0^{\infty}\frac{1}{x(1+x^2)}\cdot \frac{x}{s^2+x^2}\,\mathrm{d}x \tag{2}\\ &= \int_0^{\infty}\frac{1}{(1+x^2)(s^2+x^2)}\,\mathrm{d}x \tag{3}\\ &= \frac{1}{1-s^2}\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{x^2+s^2}-\frac{1}{x^2+1}\right)\,\mathrm{d}x \tag{4}\\ \mathcal{L}\left\lvert I(\alpha)\right\rvert &= \frac{\pi}{2(s+s^2)} \tag{5}\\ I(\alpha) &= \frac{\pi}{2}\left(1-\frac1{e^\alpha}\right) \tag{6} \end{align}$$

y para $\alpha = 1 $ tenemos

$$ \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x(1+x^2)}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}\left(1-\frac1{e}\right)$$

Answer 3

Trabajó en esto, que es una combinación de ambos métodos menciono. Usted necesita para ir alrededor del contorno $C_r+C_e+(-R,-e)+(R,e)$. Por el sólo teorema en la sección 4.3 de Ablowitz & Fokas la integral alrededor de $C_e$ va a ir a $i\pi$. Por el enfoque que he mencionado en la primera parte de mi intento, la integral alrededor de $C_R$ va a ir a $2\pi i(-\frac{1}{2e})$ la adición de estas dos soluciones, y recordando a dividir por $2$ (note que el integrando es incluso) los rendimientos de la respuesta.