Sea $f:[0,\infty)\to \Bbb R$ se define por $f(x)=\int_{0}^x \sin^2(t^2)\mathrm dt$ . Demuestre que $f$ es uniformemente continua

Question

Sea $f:[0,\infty)\to \Bbb R$ se define por

$$f(x)=\int_{0}^x \sin^2(t^2)\mathrm dt$$

Entonces Demuestre que la función es uniformemente continua en $[0,1)$ y $(0,\infty)$

Intento: Diferenciar con respecto a $x$ obtenemos,

$$f'(x)=\sin^2(x^2)$$ entonces $$|f'(x)|=|\sin^2(x^2)|\le1,\forall x\in(0,\infty)$$

esto significa que la derivada de $f$ está acotada, por lo que f es uniformemente continua en intervalos dados. ¿Estoy en lo cierto? También proporcionar otros métodos para resolver esto. Gracias.

Answer 1

Su solución es muy buena. Demostrando que la derivada está acotada y utilizando a continuación el teorema del valor medio de Lebesgue, puedes demostrar que $f$ es continua de Lipschitz (de constante de Lipschitz $1$ ), por lo que es uniformemente continua no sólo en los intervalos, sino incluso en el conjunto $\Bbb R$ .

Una alternativa podría ser la siguiente: suponer $x \le y$ Entonces $|f(x) - f(y)| = | \int \limits _x ^y \sin ^2 (t^2) \Bbb d x | \le \int \limits _x ^y |\sin ^2 (t^2)| \Bbb d x \le \int \limits _x ^y 1 \ \Bbb d x = y - x = |x - y|$ . La ventaja de esta demostración es que utiliza la integración sin tocar siquiera los teoremas de diferenciabilidad o de valores medios (y, en general, la integrabilidad se considera un escenario más conveniente que la derivabilidad, porque es más débil).

Answer 2

Su intento es correcto. En general, si su derivada es a priori delimitado $\|f'\|_\infty\leq M$ entonces la función es uniformemente continua por el teorema del valor medio: $$f(x)-f(y)=f'(\xi)(x-y)\Longrightarrow|f(x)-f(y)|=|f'(\xi)||x-y|\leq M|x-y|.$$

Answer 3

Sea $\epsilon >0$ .

Por MVT tenemos $\vert f(x)-f(y)\vert =\vert f'(c)(x-y)\vert \leq \vert x-y\vert ;\ y<c<x$ .

Ahora $\delta =\epsilon $ y el resultado es el siguiente.