Evaluación de valor de limitación de la serie

Question

Para una secuencia dada, $a_1=1$ y $a_n=n(1+a_{n-1})$ $\forall n\geq 2$, a continuación, el valor de límite dado:

$$\lim_{n\to \infty} \bigg(1+\frac{1}{a_1}\bigg)\bigg(1+\frac{1}{a_2}\bigg)\cdots\bigg(1+\frac{1}{a_n}\bigg)$$

Generalmente este tipo de preguntas son resueltas por el teorema del sándwich o por su conversión a una integral definida, pero no lo veo ni trabajan aquí. Podría alguien darme poco de ayuda para continuar

Answer 1

Desde $a_1=1$ y $$ 1+\frac1{a_{n-1}}=\frac{a_n}{na_{n-1}}\tag1 $$ inducción dice $$ \prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac1{a_k}\right)=\frac{a_n}{n!}\tag2 $$ Además, la división de la recursividad por $n!$ rendimientos $$ \frac{a_n}{n!}=\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}+\frac1{(n-1)!}\tag3 $$ que, por inducción, da $$ \frac{a_n}{n!}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{k!}\tag4 $$ La combinación de $(2)$$(4)$, tenemos $$ \prod_{k=1}^\infty\left(1+\frac1{a_k}\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\tag5 $$

Answer 2

Sugerencia: $\displaystyle \frac{a_n}{n!} = \frac{a_{n - 1}}{(n - 1)!} + \frac{1}{(n - 1)!} \ (n \geqslant 2)$ e$$ \prod_{k = 1}^n \left(1 + \frac{1}{a_k}\right) = \left. \prod_{k = 1}^n (1 + a_k) \medio/ \prod_{k = 1}^n a_k\right. = \left.\prod_{k = 1}^n \frac{a_{k + 1}}{k + 1} \medio/ \prod_{k = 1}^n a_k\right. = \frac{1}{a_1} \frac{a_{n + 1}}{(n + 1)!}. $$