$$\int\frac{x^{2}+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}dx$$ Comenzamos multiplicando por $1=\frac{x}{x}$ . $$\int\frac{x^{2}+1}{x^{2}\sqrt{x^{4}+1}}xdx$$ A continuación, utilizamos la sustitución $u=x^{2}$ ; $\frac{du}{2}=xdx$ . $$\frac{1}{2}\int\frac{u+1}{u\sqrt{u^{2}+1}}du=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}du+\frac{1}{2}\int\frac{1}{u\sqrt{u^{2}+1}}du=$$ $$=\frac{1}{2}\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)+\frac{1}{2}\int\frac{1}{u\sqrt{u^{2}+1}}du$$ El problema se reduce ahora a calcular la integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{u\sqrt{u^{2}+1}}du$ . $$\frac{1}{2}\int\frac{1}{u\sqrt{u^{2}+1}}du=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2\sqrt{1+\frac{1}{u^{2}}}}du$$ Volvemos a utilizar la sustitución $v=\frac{1}{u}$ ; $-dv=\frac{1}{u^{2}}du$ , entonces tenemos la siguiente integral. $$-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{1+v^{2}}}dv=-\frac{1}{2}\ln\left(v+\sqrt{1+v^{2}}\right)=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{u}+\sqrt{1+\frac{1}{u^{2}}}\right)=$$ $$=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sqrt{u^{2}+1}}{u}\right)$$ Finalmente la solución es: $$\int\frac{x^{2}+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}dx=\frac{1}{2}\ln\left(u+\sqrt{1+u^{2}}\right)-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sqrt{u^{2}+1}}{u}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x^{4}+x^{2}\sqrt{x^{4}+1}}{1+\sqrt{x^{4}+1}}\right).$$ Pero el problema es que el libro tiene la siguiente solución: $$\int\frac{x^{2}+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}dx=\ln\left(\frac{x^{2}-1+\sqrt{x^{4}+1}}{x}\right)$$ que es obviamente diferente.
Respuestas
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Para comprobar explícitamente que difieren en una constante, réstalos:
\begin {align*} & \frac {1}{2} \log \frac {x^4+x^2 \sqrt {x^4+1}}{1+ \sqrt {x^4+1}} - \log \frac {x^2-1+ \sqrt {x^4+1}}{x} \\ &= \frac {1}{2} \log \frac {1-x^2+x^4- \sqrt {1+x^4} + x^2 \sqrt {1+x^4}}{x^2} \\ & \qquad - \frac {1}{2} \log \frac {2-2x^2+2x^4-2 \sqrt {1+x^4}+2x^2 \sqrt {1+x^4}}{x^2} \\ &= \frac {1}{2} \log \frac {1}{2}, \end {align*}
donde obtengo el primer término racionalizando el denominador y el segundo por la identidad $\log a = \frac{1}{2}\log a^2.$
He diferenciado tu respuesta y la del libro. Ambas son iguales al integrando. Así que tu trabajo es efectivamente correcto.
De hecho, la respuesta del libro puede considerarse errónea ya que carece de un valor absoluto en torno al argumento de $ln$ mientras que tu respuesta no necesita una ya que el argumento a $ln$ en su expresión es estrictamente positiva.
Las dos expresiones son iguales hasta una constante.
Tome de su respuesta $$\frac{x^2(x^2+\sqrt{x^4+1})}{1+\sqrt{x^4+1}}$$ y multiplicar arriba y abajo por $\sqrt{x^4+1}-1$ se obtiene
$$\frac{x^4-x^2+1+(x^2-1)\sqrt{x^4+1}}{x^2}=\frac{1}{2}\frac{(x^2-1+\sqrt{x^4-1})^2}{x^2}$$
Así que $$\frac{1}{2} \ln \frac{x^2(x^2+\sqrt{x^4+1})}{1+\sqrt{x^4+1}}= \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2}\frac{(x^2-1+\sqrt{x^4-1})^2}{x^2}=\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \ln \frac{(x^2-1+\sqrt{x^4-1})^2}{x^2}= \frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}+\ln \frac{x^2-1+\sqrt{x^4-1}}{x}$$
