Encontrar la integral indefinida

Question

$$\int\frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{a}-\sqrt{x}}\, dx$$

¿Alguien puede dar una pista sobre cómo romper este apart en un integral capaz de hacer?

Acabo de pasar las edades tratando de sustituir $\sqrt{a-x}$ y $\sqrt{x}$ $u$, sin éxito.

Asesoramiento/ayuda muy apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{{\sqrt {a - x} }}{{\sqrt a - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt {a - x} }}{{a - x}}\left( {\sqrt a + \sqrt x } \right) = \frac{{\sqrt a + \sqrt x }}{\sqrt{a - x}}$$

Esto permite un fácil integral en el primer sumando. Para el segundo, hacemos una serie de primaria todavía (tal vez) no evidentes manipulaciones $$\begin{align} \int {\sqrt {\frac{x}{{a - x}}} dx} &\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \int {\sqrt {\frac{a}{u} - 1} \left( { - du} \right)} \\ &\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} \int {w\frac{{2wa}}{{{{\left( {{w^2} + 1} \right)}^2}}}dw} \\ &\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} - \frac{{aw}}{{1 + {w^2}}} + a\int {\frac{{dw}}{{{w^2} + 1}}} \\ &\mathop = \limits^{\left( 4 \right)} - \frac{{aw}}{{1 + {w^2}}} + a\arctan w\end{align} $$

Explicación

$(1)$ $u=a-x$

$(2)$ $w^2=\dfrac ua-1$

$(3)$ Integrar por partes con $f=w,g'=\dfrac{2w}{(1+w^2)^2}$

$(4)$ El uso de la costumbre trigonométricas integral de la $(\tan^{-1}x)'=(1+x^2)^{-1}$

El de arriba da $$\int {\sqrt {\frac{x}{{a - x}}} dx} = a\arctan \sqrt {\frac{x}{{a - x}}} - \sqrt {x\left( {a - x} \right)} + C$$