Mostrar que una función entera es un polinomio

Question

Hay una pregunta en el libro que me pide que demuestre que si $|f(z)| \le L|z|^m$ donde $|z| \ge R$, entonces $f$ es un polinomio de grado a lo sumo $m$.

El problema me da una pista de que debo usar las estimaciones de Cauchy para $n>m$ y $r \to \infty$

Lo siguiente es de una publicación https://math.stackexchange.com/a/143881/64742

Dado que $f$ es entera, es igual a una serie de potencias centrada en cero con radio de convergencia $\infty$, que debe coincidir con su serie de Taylor ahí.

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$$

Dado que $|f(z)|\leq k|z|^m$, la estimación de Cauchy nos da

$$|f^{(n)}(0)|\leq \frac{n!k|z|^m}{R^n}$$ para todo $|z|=R$. Para $n>m$, dejando que $R\rightarrow\infty$, vemos que $|f^{(n)}|=0$. Se sigue que $f$ es un polinomio de grado $\leq m$.

Ahora, sigo lo que dice la respuesta anterior excepto en donde "Se sigue que f es un polinomio de grado $ \le m$. ¿Por qué llegamos a esa conclusión? La declaración precedente simplemente dice que $ |f^{(n)}|=0 $

Answer 1

Dado que $f$ es entera, para cada $z\in\mathbb C$ se cumple que $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n \tag1$$ Una vez que sabemos que $f^{(n)}(0)=0$ para $n>m$, la fórmula (1) se simplifica a $$f(z)=\sum_{n=0}^m \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n \tag2$$ donde la expresión a la derecha es evidentemente un polinomio de grado a lo sumo $m$.