Es solo cuestión de entender la notación.
Preliminares
Una variable aleatoria, como $\boldsymbol X$, es una función medible en un espacio de probabilidad,
$$\boldsymbol X: \Omega \to \mathbb{R}^n.$$
Una estadística $T$ es una función medible
$$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}.$$
Entonces, la función compuesta
$$T\circ \boldsymbol{X}:\Omega \to \mathbb{R};\ T(\boldsymbol{X})(\omega) = T(\boldsymbol{X}(\omega))$$
también es una variable aleatoria.
Sea $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$: es un valor posible de $\boldsymbol X$. Por lo tanto, $t = T(\boldsymbol{x})\in \mathbb R$ es un valor posible de la estadística $T$.
Notación
La notación de construcción de conjuntos utilizada en este contexto es una abreviatura--algunos dirían un abuso--de la notación matemática más explícita
$$\{T(\boldsymbol X) = T(\boldsymbol x)\} = \{\omega\in\Omega\,|\,T(\boldsymbol{X}(\omega)) = T(\boldsymbol{x})\}= \{\omega\in\Omega\,|\,T(\boldsymbol{X}(\omega)) = t\}.$$
Llamemos a este conjunto $\mathcal T$. La notación matemática exhibe claramente a $\mathcal T$ como un subconjunto de $\Omega$ y, debido a que $T\circ \boldsymbol X$ es medible, es un evento. Es el conjunto de todos los resultados donde el valor de $T\circ\boldsymbol{X}$ es igual a un valor dado de la estadística $T$, es decir $T(\boldsymbol{x}) = t$. En otras palabras, $\mathcal T$ consiste en todos los resultados donde la estadística $T$ tiene el valor $t$.
De manera similar, las otras notaciones de construcción de conjuntos utilizadas en la cita deben interpretarse como
$$\boldsymbol{X}^{*}(\boldsymbol{x}) = \{\boldsymbol{X} = \boldsymbol{x}\} = \{\omega\in\Omega\,|\,\boldsymbol{X}(\omega) = \boldsymbol{x}\}$$
$$\boldsymbol{Y}^{*}(\boldsymbol{x}) =\{\boldsymbol{Y} = \boldsymbol{x}\} = \{\omega\in\Omega\,|\,\boldsymbol{Y}(\omega) = \boldsymbol{x}\}.$$
Ambos son eventos: $\boldsymbol{X}^{*}(\boldsymbol{x})$ es el evento donde el valor de $\boldsymbol X$ es $\boldsymbol x$ y $\boldsymbol{Y}^{*}(\boldsymbol{x})$ es el evento donde el valor de $\boldsymbol Y$ es $\boldsymbol x$. No necesariamente son el mismo evento, ya que $X$ y $Y$ no son necesariamente la misma variable aleatoria.
Solución
Por construcción, si aplicamos $T\circ \boldsymbol{X}$ a cualquier elemento $\omega$ de cualquiera de estos conjuntos, obtendremos el valor $T(\boldsymbol{x}) = t$, lo cual por definición significa que $\omega\in\mathcal T$. Simplemente hemos observado que
$$\boldsymbol{X}(\omega) = \boldsymbol{x} \implies T(\boldsymbol{X}(\omega)) = t$$
y
$$\boldsymbol{Y}(\omega) = \boldsymbol{x} \implies T(\boldsymbol{Y}(\omega)) = t,$$
demostrando inmediatamente que
$$\boldsymbol{X}^{*}(\boldsymbol{x}) \subset \mathcal T$$
y
$$\boldsymbol{Y}^{*}(\boldsymbol{x}) \subset \mathcal T,$$
QED.
