Permite la adición de los números ordinales en forzar

Question

Estoy leyendo a Paul Cohen "el Descubrimiento de La Fuerza", esta es una pregunta relacionada con mi pregunta anterior:

¿Por qué Cohen requieren obligando a ser tal, que no hay nuevos ordinales son añadidos en el proceso? O, dicho de otra manera: si no tenemos cuidado y la construcción de una extensión de $M[G]$ de un modelo de $M$ de ZFC en tal forma que no pueden ser ordinales añadido, es la consecuencia de que $M[G]$ no satisface ZFC? Gracias por su ayuda.

Answer 1

Uno de los puntos clave de forzar a que es lo que quieres para controlar el "internamente" la teoría del modelo final, para que a partir de un (original) modelo de terreno $M$ puede predecir lo que las declaraciones de la modelo resultante $M'=M[G]$ va a satisfacer.

A priori, podría muy bien ser que la estructura resultante $M'$ construimos no es ni siquiera un final de extensión de $M$, lo que significa que podríamos tener, por ejemplo, los nuevos conjuntos $c\in M'$ con $M'\models$"$c\in b$" para algunos $b\in M$. O, podría ser que $M'$ ya no es bien fundada. Algo como esto iba a hacer la tarea de "predecir" $M'$'s teoría difícil de manejar, ya que la herramienta clave que utilizamos para ello, de lo absoluto, ya no está disponible.

Esto sugiere que queremos $M'$ a ser un final de extensión, y (Cohen idea clave) queremos que sea "estándar", que es transitiva. (Por el momento obligando apareció, teníamos una buena cantidad de modelo teórico de herramientas para producir nuevos modelos a partir de las viejas, pero ninguna de estas herramientas nos permiten el control de la teoría del modelo final en forma significativa, que es por eso que no tiene pruebas de la consistencia de $\lnot \mathsf{CH}$ antes de Cohen, por ejemplo).

Pero, si tuviéramos que añadir los ordinales a $M'$, esto obligaría a $M'$ a ser significativamente mayor que $M$: Por ejemplo, si $\alpha=\mathsf{ORD}^M\in M'$, $\beta=\alpha^{\alpha^{\alpha^{\dots}}}$ (ordinal exponenciación) también tendría que ser un elemento de $M'$. En realidad, este ordinal, aunque inmensamente mayor que $\alpha$ enano cuando se compara con $\mathsf{ORD}^{M'}$. Por ejemplo, $M'$ tendría una versión de $\alpha^+$, que es mucho mucho más grande de lo $\beta$ ya, y que habría una versión de puntos fijos de el aleph de la función por encima de $\alpha^+$, y así sucesivamente.

De hecho, $\mathsf{ORD}^{M'}$ sería inalcanzable desde dentro de $M$ en cualquier sentido práctico, y no tenemos medios para predecir la teoría de la $M'$ -- no tendríamos ni siquiera suficiente (definible) las clases para usar como nombres para los elementos de $M'$!

(Hay una pequeña observación necesaria: Todo esto se aplica incluso si el resultado $M'$ es todavía contables, debido a que, desde dentro de $M$, no hay enumeraciones de $M$ sí, mucho menos de $M'$.)

Una interesante dirección en el modelo de la teoría de la teoría de conjuntos antes de Cohen fue el estudio de las cadenas de final extensiones; hay algunos clásicos buenos resultados por Keisler, Morley, y otros, y el trabajo más reciente por Villaveces, y Hamkins, por ejemplo. Antes de Cohen, se esperaba que un final de extensión de la $M'$ $M$ estaría en el hecho de no añadir conjuntos de rango inferior a $\alpha$, por lo que se espera $M'$ sería mucho más grande de lo $M$, como se explicó anteriormente. Típico de trabajo en las cadenas de final extensiones pide $M'$ a de una escuela primaria de la superestructura de $M$. Esto es ciertamente inútil si nuestro objetivo es mostrar consistencia relativa de los resultados, como $M'$ tiene la misma teoría como la de $M$. Por otro lado, esta opción no está completamente sustituida por forzar, ya que es útil en el estudio de los grandes cardenales de tamaño intermedio, como débilmente compacto de cardenales.

(Una digresión: es una pregunta interesante si podemos demostrar la existencia de "muchos" transitivo modelos por otros medios que forzar, pero no sé de cualquiera de los métodos para lograr esto. Ver este MO pregunta.)

Permítanme concluir diciendo que, si tomamos la idea de que queremos $M'$ a ser transitivos en serio, entonces realmente debería buscar formas de lograr esto sin la adición de cualquier ordinales. Por ejemplo, podría ser que en nuestro universo hay exactamente un ordinal $\alpha$ que no son transitivos modelos de $M$ de la teoría de conjuntos de la altura de la $\alpha$. Pero entonces, corto de decisiones $M'$ tiene el tamaño de todo el universo, no hay muchas otras opciones. Por supuesto, normalmente, estamos en situaciones donde tenemos un montón de números ordinales $\alpha$ que están a la altura de una modelo de la teoría de conjuntos, pero todavía nos quieren obligar a ser bastante operación local, de modo que si $M\in N$ son modelos, con $N\models$"$M$ es contable", a continuación, en $N'$ no están obligando a las extensiones $M'$$M$. Pero entonces esto de nuevo nos obligan a tener $M'$ de la misma altura de $M$, como podríamos tomar a $N$ a ser de menor altura posible que contenga $M$ como un elemento.

El otro extremo es que se argumenta en el lenguaje de Boolean valores de los modelos, y considerar la posibilidad de "virtual", obligando a las extensiones de todo el universo, en lugar de hablar de contables transitiva modelos. Tratando de formalizar la configuración necesaria, para que podamos en $V$ hablar virtual más grande ordinales, es bastante complicado. No conozco mucho el trabajo serio aquí. Reinhardt había algunas propuestas, en términos de una fuerte primaria incrustaciones, pero no he visto ningún trabajo que hacer esta opción factible para una teoría de que sustituiría a forzar.