¿Existe un mapa continuo $\gamma:[0,1] \to \mathbb{R}^n$ s.t. $$|\gamma(x)-\gamma(y)| \ge |x-y|^{\frac 1 2} $$ para todos $x,y \in [0,1]$ ?
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GCD
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Sí, existe esa función. Debería ser capaz de construir una explícitamente mediante una modificación adecuada de la función Copo de nieve Koch construcción, aunque no quiero trabajar en los detalles.
De hecho, es mucho más cierto. Tomemos cualquier espacio métrico $(X,d)$ que satisface una determinada condición de dimensionalidad finita llamada "duplicación". (Esto significa que, para alguna constante $N$ cada bola de radio $r$ puede ser cubierto por un máximo de $N$ bolas de radio $r/2$ .)
Ahora toma cualquier $0<\alpha <1$ . Entonces hay una constante $C\geq 1$ un número entero positivo $n$ y un mapa $f:X\rightarrow \mathbb{R}^n$ que satisface $$ C^{-1} d(x,y)^\alpha \leq |f(x) - f(y)| \leq Cd(x,y)^\alpha.$$
Esto se llama el teorema de incrustación de Assouad.
¿Qué tiene que ver esto con su pregunta? Bueno, dejemos que $(X,d)$ sea $[0,1]$ con la métrica habitual dada por $|\cdot|$ . Se trata de un espacio métrico doble, por lo que por el teorema de Assouad (con $\alpha=1/2$ ) obtenemos un mapa $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n$ Satisfaciendo a $$ C^{-1} |x-y|^{1/2} \leq |f(x) - f(y)| \leq C|x-y|^{1/2}.$$
Si sólo reescalas $f$ por un factor de $C$ , se obtiene $$ |x-y|^{1/2} \leq |f(x) - f(y)| \leq C^2|x-y|^{1/2},$$ que en concreto es lo que querías.
zack
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Aunque la exposición de Heinonen del teorema de Assouad es excelente, no hay que olvidar el artículo original de Assouad de 1983, Los labios de los niños en el $\mathbb R^n$ . La proposición 4.4 responde a su pregunta de forma más general. La vuelvo a exponer a continuación, cambiando la terminología para que sea autocontenida:
Dejemos que $k\ge 1$ sea un número entero, y $p\in (0,1)$ . Supongamos que $n>1/p$ es un número entero. Entonces existe un mapa $f:[0,1]^k\to \mathbb R^n$ tal que $$c|x-y|^p \le |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^p \tag1$$ para todos $x,y\in [0,1]^k$ con algunas constantes positivas $c$ y $C$ .
Puede tomar $k=1$ , $p=1/2$ y $n=3$ . Entonces multiplique $f$ por una constante para obtener $c=1$ .
Como GCD insinuó, la construcción de Assouad es una $n$ -forma de copo de nieve de von Koch.
Se sabe que $f$ como en (1) no existe para $n=1/p$ (en particular, cuando $n=2$ y $p=1/2$ ). De hecho, (1) implica que el rango de $f$ debe ser un poroso y por lo tanto su $n$ -debe ser cero; cuando $n=1/p$ este último es incompatible con el límite inferior de (1). Véase Conjuntos porosos y mapas cuasimétricos por Väisälä.
El párrafo anterior deja abierta la cuestión de si se puede tomar $n=2$ si sólo se quiere el límite inferior de (1) (más la continuidad de $f$ ). No sé la respuesta, pero sospecho que es negativa.
Una referencia más: Incrustaciones geométricas de espacios métricos de Heinonen, concretamente el capítulo 3.
