¿Qué es exactamente $\mathbb{P}_\mathbb{Z}^n$?

Question

Por tanto, tengo la siguiente definición de $\mathbb{P}_A^n$ para un arbitrario (conmutativa) anillo de $A$, de Hartshorne:

Set $S=A[x_0,\ldots,x_n]$, por lo que el $S=\bigoplus_{d\geq 0}S_d$ como un anillo graduado, $S_+=\bigoplus_{d\geq 1}S_d$, y para mayor comodidad, vamos a $S^\mathrm{H}=\bigcup_{d\geq 0} S_d$ denotar la homogeneidad de los elementos. Definimos el conjunto $\mathrm{Proj}\ S=\{\mathfrak{p}\subset S \mid \mathfrak{p} \mathrm{\ hmg.\ prime}, S_+ \nsubseteq\mathfrak{p}\}$ con conjuntos cerrados $V(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in\mathrm{Proj}\ S\mid \mathfrak{p}\supseteq\mathfrak{a}\}$ para todos homogéneos ideales $\mathfrak{a}\subseteq S$.

Siguiente, para todos los $\mathfrak{p}\in\mathrm{Proj}\ S$, podemos establecer $T_\mathfrak{p}=S^\mathrm{H}\setminus\mathfrak{p}$, $S_{(\mathfrak{p})}=\{\frac{f}{g}\in T_\mathfrak{p}^{-1} S \mid f\in S^\mathrm{H}, \deg f = \deg g\}$. Finalmente, para cualquier subconjunto $U\subseteq\mathrm{Proj}\ S$, definimos $$\mathcal{O}(U)=\{s:U\to\bigsqcup_\mathfrak{p} S_{(\mathfrak{p})} \mid \forall\ \mathfrak{p}\in U, s(\mathfrak{p})\in S_{(\mathfrak{p})}, \exists\ \mathfrak{p}\in V\subseteq U \mathrm{\ open}, a,f \in S^\mathrm{H} \mathrm{\ s.t.\ } \deg\frac{a}{f} = 0, \mathrm{\ and\ }\forall\ \mathfrak{q}\in V, f\notin\mathfrak{q}, s(\mathfrak{q})=\frac{a}{f}\in S_{(\mathfrak{q})}\}$$

Al $A$ es algebraicamente cerrado de campo, que se puede ver la analogía con el espacio proyectivo $\mathbb{P}^n$ clásicos de la geometría algebraica. Pero arbitrarias de los anillos, incluso para el caso más simple de $A=\mathbb{Z}$, lucho para dar sentido a este lío de los símbolos. ¿Hay alguna buena intuición para tener en cuenta cuando se trabaja con $\mathbb{P}_A^n$, o una forma más simple de describir el anillo de funciones regulares?

Al menos, me gustaría entender lo que está pasando en $\mathbb{P}_\mathbb{Z}^n$, para ganar algo de intuición para el caso más general.

Answer 1

Estoy de acuerdo en que el punto-descripción del conjunto no es muy esclarecedor (la relación entre la complejidad de la descripción explícita en contra de la complejidad de significado abstracto puede ser mucho peor, por ejemplo, ¿la categoría de localmente anillado espacios tienen los productos?); a pesar de que uno tiene que probar la existencia de alguna manera, creo que la mejor manera de ver el espacio proyectivo es mirar el functor que el proyectiva $n$-espacio representa, es decir, para describir cómo morfismos $X\to {\mathbb P}^n_A$ puede ser construido:

Para un $A$ -$X$, una de morfismos $X\to {\mathbb P}^n_A$ es equivalente a la especificación de una línea de paquete de ${\mathcal L}$ $X$ junto con global secciones $s_0,...s_n$ sin simultáneo de cero, hasta el isomorfismo.

Este es un muy intuitivo cosa: Aproximadamente, dado un punto de $x$$X$, recoger algunas $s_i$ no de fuga en $x$, y el mapa de $x$$(\frac{s_j(x)}{s_i(x)})$. Elige un $s_{i^{\prime}}$ modifica la tupla por la constante $\frac{s_i(x)}{s_{i^{\prime}}(x)}$, por lo tanto define el mismo punto en el espacio proyectivo. Me gusta esta idea de 'medir' la $s_j(x)$ contra algunos distinto de cero $s_i(x)$, y para eliminar la ambigüedad al excluir constantes. Por el contrario, cualquier morfismos $p: X\to {\mathbb P}^n_A$ determina la ${\mathcal L} := p^{-1}({\mathscr O}(1))$, y el $s_i$ son los pullbacks de las secciones estándar de ${\mathscr O}(1)$.

Esta descripción se simplifica a la descripción clásica de los espacios proyectivos cuando se limita a $X$, que no admite cualquier no-trivial de la línea de paquetes: a Continuación, ${\mathcal L}\cong {\mathscr O}_X$ y un mapa de la $X\to {\mathbb P}^n_A$ es una tupla $(f_0,...,f_n)\in {\mathscr O}_X^n$ de los generadores de ${\mathscr O}_X^{n+1}$, el modulo de la acción de la ${\mathscr O}_X(X)^{\times}$. Tomando $X=A=\text{Spec}(k)$ por ejemplo, esto le da a ${\mathbb P}^n_k(k)=(k^{n+1}\setminus\{0\})/k^{\times}$.

En la mitad del camino, usted podría considerar la posibilidad de $X=\text{Spec}(B)$ algunos $A$-álgebra $B$. A continuación, especificar un mapa de $X\to {\mathbb P}^n_A$ llega a la especificación de un proyectiva $B$-módulo de $P$ junto con un surjection $B^{n+1}\twoheadrightarrow P$, hasta isomorfismo. Para $B=A={\mathbb Z}$ (más de la que cada módulo proyectivo es gratis) consigue ${\mathbb P}^n_{\mathbb Z}({\mathbb Z})=\text{coprime}({\mathbb Z}^{n+1})/\{\pm 1\}$ donde $\text{coprime}({\mathbb Z}^{n+1})$ es el conjunto de $(a_0,...,a_n)$ que no tienen en común divisor primo.

Nota: también puede ver la pavimentación de ${\mathbb P}^n_A$ ${\mathbb A}^n_A$ de esta forma: Para cualquier $i\in\{0,1,...,n\}$ tiene el subfunctor restringir a los $({\mathcal L},s_0,...,s_n)$ tal que $s_i$ está en ningún lugar de fuga. Pero si usted tiene un lugar de fuga de la sección de una línea de paquete, en esta sección se banaliza el paquete, por lo que el dato esencialmente viene a la especificación de la $n$ funciones globales en $X$, que es el mismo que el de un morfismos $X\to {\mathbb A}^n_A$.

Answer 2

Una forma típica de esta imagen es mirar afín a los parches.

Si, por ejemplo, $X,Y,Z$ son de su estándar de las coordenadas en la $\mathbb{P}^2$, entonces si eliminamos el subscheme $Z=0$, nos quedamos con una copia del plano afín $\mathbb{A}^2 \cong \mathrm{Spec}\left(\mathbb{Z}[\frac{X}{Z}, \frac{Y}{Z}] \right) \subseteq \mathbb{P}^2$.

El subscheme $Z=0$, dicho sea de paso, es isomorfo a la línea proyectiva $\mathbb{P}^1$. Así que usted puede pensar en el plano proyectivo como el plano afín, junto con una línea proyectiva que lo rodean. Esta imagen funciona en dimensiones más elevadas.

Del mismo modo, si quitamos $Y=0$, podemos obtener una copia del plano afín $\mathbb{A}^2 = \mathrm{Spec}\left(\mathbb{Z}[\frac{X}{Y}, \frac{Z}{Y}] \right)$.

Estos dos copias del plano afín superposición: su intersección es $$ \mathrm{Spec}\left(\mathbb{Z}\left[\frac{X}{Z}, \frac{Y}{Z}, \frac{X}{Y}, \frac{Z} de{Y}\right] \right) = \mathrm{Spec}\left(\mathbb{Z}\left[\frac{X}{Z}, \frac{Y}{Z}, \left(\frac{Y}{Z}\right)^{-1}\right] \right) \cong \mathbb{A}^2 \setminus \mathbb{A}^1 $$

Si quitamos $X=0$, podemos obtener otra copia del plano afín $\mathbb{A}^2 = \mathrm{Spec}\left(\mathbb{Z}[\frac{Y}{X}, \frac{Z}{X}] \right)$.

Estos tres copias del plano afín son suficientes para cubrir el plano proyectivo. Así que si usted necesita, usted puede hacer los cálculos en estos tres afín parches, la transferencia de uno a otro según sea necesario. O para definir las cosas, de definir en cada parche y asegurar que sean coherentes. (o de otras cosas, como definir algo en uno afín a revisión y, a continuación, extender la continuidad o la que sea para todo el espacio proyectivo)