Se debe distinguir entre la ecuación y el "directo", la definición de algo. Por ejemplo, cuando se tiene una expresión de la forma
$$
x = g(x) \etiqueta{1}
$$
donde $g$ es una cierta función/operador que se le da a usted, se le puede pedir a encontrar $x$ que satisface dicha expresión. Nunca se puede estar seguro de si tales $x$ existe, o si existe es sólo uno de esos $x$. De hecho, si usted cambia el $x$ en el lado derecho, el lado izquierdo cambios ya que depende de $x$. De todos modos, supongamos que hemos encontrado $x$ y es único.
Ahora, imagine que usted también tiene una expresión
$$
y = h(x) \etiqueta{2}.
$$
Esto no es una ecuación, sino más bien una definición de $y$. De hecho, para encontrar el valor de $y$ la única cosa que tenemos que hacer es sustituir los $x$ (que se encuentra en el paso anterior) como un argumento de $h$ - que es.
Qué tienes en tu post original (OP) es que el $x$ es el proceso de $(X_t)_{t\geq 0}$ que satisface
$$
X_T = X_0 + \int_0^Ta(X_t,t)\mathrm dt + \int_0^Tb(X_t,t)\mathrm dB_t \etiqueta{$1^\prime$}
$$
que puede ser compacta escrito a través de los diferenciales como en su caso. Aquí el operador $g$ $(1)$ es justo en estas integrales y funciones de $a,b$ que se aplica a $X$. De nuevo, la LHS y RHS ambos contienen $X$, por lo que no es obvio si existe tal $X$ lo que hace que ambos lados sean iguales. Por lo tanto, necesitamos condiciones en $a$ $b$ para asegurar tal existencia, o la singularidad.
Ahora, vamos a $Y_t = f(X_t,t)$ ser otro proceso. Para$f\in C^2$, se puede utilizar una definición alternativa de $Y$:
$$
Y_T = Y_0 + \int_0^T\frac{\partial f}{\partial t}(X_t,t)\mathrm dt + \int_0^T \frac{\partial f}{\partial X}(X_t,t)\mathrm dX_t + \int_0^T \frac{\partial^2 f}{\partial X^2}(X_t,t)\mathrm dX_t^2 \etiqueta{$2^\prime$}
$$
que de nuevo puede ser escrito en un compacto de forma simbólica, como a través de los diferenciales de como lo hizo. Aquí usted puede pensar en el lado derecho como una función del proceso $X$: $h((X_t)_{t\geq 0})$. Sólo se utiliza para definir $Y$. La única cosa que usted necesita tomar el cuidado de se que $h$ está definido para un determinado valor del argumento, que es todas las integrales en la RHS de $(2')$ están bien definidos. En realidad, aquí el único Ito integral es el del medio (una parte de $\mathrm dX_t$) y que, de hecho, se comprueba que
$$
Z_t:=b(X_t,t)\frac{\partial f}{\partial X}(X_t,t)
$$
satisface por ejemplo, $(iii)$ en la Definición 3.1.4 o $(iii)'$ en la Definición 3.3.2 de Oksendal: "Ecuaciones Diferenciales Estocásticas".
Como resultado, usted realmente no debe hablar de soluciones de $(2')$ como mucho de ustedes no hablar de las soluciones de $y = 3$. En su lugar, hablar de soluciones de $x = x^2+1$.
