Aclaración sobre Integración Rápida

Question

$ \int_ {-\pi}^{\pi}\ f(x) \ dx $ es equivalente a integrar $f(x)$ sobre $-\pi < x < \pi$ (estrictamente menor) y también $-\pi \le x \le \pi$ (menor o igual). Por lo tanto, solo necesito asegurarme de que los límites de integración no cambien al considerar ya sea menor que o menor o igual. Una rápida confirmación será suficiente.

¡Saludos!

ACTUALIZACIÓN: Aplicando esto a una pregunta relacionada con las series de Fourier: $ f(x) = \begin{cases}x+ & -\pi

$a_0= {1\over 2L}[\displaystyle \int \limits_{-\pi}^{0} \ x+ \ dx + \int \limits_{0}^{\pi} \ dx]$

Answer 1

No, los límites no están incluidos, lo cual es crucial al evaluar integrales impropias. Por ejemplo, si $ f(x) = \sqrt{\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|} $, entonces la integral converge a pesar de que el integrando no esté definido en los límites.

Answer 2

Con respecto a tu edición, sí, puedes calcular esta integral particular (y evaluar "en" los límites $I(x) \big|_b^a$, pero ten en cuenta la respuesta de Jon Claus: lo que estás realmente haciendo es evaluar el límite de $I(x)$ a medida que $x \to a^-, x\to b^+$, y es crucial recordar eso en el caso de los integrales impropios.

Answer 3

Sí, eso es cierto (asumiendo una integral de Riemann adecuada, de lo contrario debes tomar un límite). Piénsalo en términos del área bajo una curva, es decir, quieres calcular el área bajo la curva f(x) donde los puntos finales son $-\pi$ y $\pi$. Claramente, los puntos finales no contribuyen con una cantidad distinta de cero al área.