Usted no podría encontrar una prueba, porque no es cierto. De hecho, $BL(X)$ es
separables en la topología de la convergencia uniforme si y sólo si $X$ es totalmente acotado.
Si $X$ es totalmente acotado, cada Lipschitz función puede ser extendido a sus
terminación $\tilde{X}$, que es compacto. Por lo tanto, obtenemos un isométrica
la incrustación $BL(X) \to C(\tilde{X})$.
Si $X$ no es totalmente acotado, hay un $\epsilon > 0$ y un infinito
$A \subset X$, de tal manera que $d(x, y) > \epsilon$ para todos los distintos $x, y \in A$.
Para cada $V \subset A$
la función de $f_V: x \mapsto \min \{ \epsilon, d(x, V) \}$ es un almacén de
De Lipschitz de la función. Claramente $\|f_V - f_W\|_\infty = \epsilon$
distintos $V$$W$, por lo tanto el conjunto de todas estas funciones es discreto.
Esto demuestra que $w(BL(X)) \ge 2^{|A|} > \aleph_0$.
Addendum: El anterior también se aplica para los espacios de uniforme de funciones continuas, que es el contexto donde se discute generalmente. El hecho de que un uniforme de función continua en un espacio métrico tiene un único
extensión a la conclusión de que el espacio es un caso especial de el resultado
discutido en esta respuesta.
Esto nos da una buena definición de la asignación de $BL(X) \to C(\tilde{X})$ que se lleva a
$f: X \to \mathbb{R}$ $\tilde{f}: \tilde{X} \to \mathbb{R}$.
Que esta asignación es una isometría con respecto a la sup norma de la siguiente manera fácilmente por el hecho de que $X$ es denso en $\tilde{X}$ y, por tanto, $f[X]$ es densa
en $\tilde{f}[\tilde{X}]$ por la continuidad de $\tilde{f}$.
