En su libro Conferencias sobre la teoría de los números algebraicos, Hecke dice que el contenido del teorema de reciprocidad cuadrática, formulado y demostrado enteramente en términos de racionales (enteros), apunta más allá del dominio de los números racionales.
Está hablando sobre los números algebraicos, pero ¿cómo se ve que apunta en otra dirección?
Solo para ampliar la respuesta de Qiaochu: una forma de probar la reciprocidad cuadrática es observar que, para un primo impar $p$, el campo cuadrático $\mathbb Q(\sqrt{\pm p})$ (el signo se elige de modo que $\pm p \equiv 1 \bmod 4$) está contenido en $\mathbb Q(\zeta_p)$ (el campo obtenido al adjuntar una raíz primitiva $p$-ésima de la unidad a $\mathbb Q$), como se puede ver usando sumas de Gauss, y combinando esto con la irreducibilidad del polinomio ciclotómico $p$-ésimo (que muestra que $Gal(\mathbb Q(\zeta_p)/\mathbb Q) = (\mathbb Z/p)^{\times}$).
Todos estos conceptos se remontan a la Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, que sirvió para inspirar y guiar todos los desarrollos posteriores en teoría de números en el siglo XIX.
Gauss mismo introdujo sus enteros gaussianos (es decir, el anillo $\mathbb Z[i]$) como parte de sus investigaciones sobre la reciprocidad biquadrática (es decir, cuarta potencia). Su estudiante Eisenstein investigó la reciprocidad cúbica (e introdujo el anillo $\mathbb Z[\zeta_3]$ como una herramienta para este fin).
Más tarde en el siglo XIX, Kummer investigó leyes de reciprocidad de potencias primas superiores, y fue llevado a la invención de los conceptos principales de la teoría algebraica de números (ideales, factorización única en ideales primos, el grupo de clases y el número de clase, todo en el contexto de los campos $\mathbb Q(\zeta_p)$) como parte de su investigación.
La investigación de leyes de reciprocidad superiores continuó. Cuando el grupo de clases de $\mathbb Q(\zeta_p)$ no es trivial, especialmente cuando tiene orden divisible por $p$, surgieron nuevos fenómenos, que llevaron a Hilbert al concepto de campo de clases de Hilbert.
De todo esto surgió la concepción general de la teoría de campos de clases, y finalmente fue establecida por Takagi a principios del siglo XX.
Hecke era consciente de toda esta tradición, y es a esta tradición y a estos desarrollos a los que se refiere en su observación.
La reciprocidad cuadrática sugiere que debería haber una ley de reciprocidad cúbica o cuártica. Hay, pero incluso para _declarar_las limpiamente (por no hablar de demostrarlas), es mejor trabajar en $\mathbb{Z}[\omega]$ o $\mathbb{Z}[i]$ respectivamente en lugar de los enteros, hablando en términos generales debido a la teoría de Kummer. Vea, por ejemplo, los artículos de Wikipedia, y en particular las siguientes citas de Gauss sobre la recipro-cidad cuártica:
Los teoremas sobre residuos biquadráticos brillan con la mayor simplicidad y belleza auténtica solo cuando el campo de la aritmética se extiende a los números imaginarios, de manera que sin restricción, los números de la forma a + bi constituyen el objeto de estudio ... llamamos a tales números números complejos integrales.
y la reciprocidad cúbica:
La teoría de los residuos cúbicos debe basarse de manera similar en una consideración de números de la forma a + bh donde h es una raíz imaginaria de la ecuación h3 = 1 ... y de manera similar la teoría de los residuos de potencias superiores conduce a la introducción de otras cantidades imaginarias.
La demostración de la reciprocidad cuadrática por sumas de Gauss también conduce naturalmente a una demostración elegante usando la teoría de Galois de campos numéricos que se generaliza al teorema de Kronecker-Weber y sugiere los inicios de la teoría de cuerpos de clase.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
