Mostrar la continuidad de Lipschitz de la función de Sobolev

Question

¿Hay algún problema con lo siguiente?

Toma $I \subset \mathbb{R}^{n}$ convexo, cerrado y acotado.

Quiero demostrar que si tengo $u_{m} \rightharpoonup^{*} u$ en $W^{1,\infty}(I)$ y $\Vert \nabla u_{m} \Vert_{L^{\infty}(I)} \leq \sigma$ donde $\sigma > 0$ . De ello se desprende que $u$ es continua de Lipshitz y tiene $\sigma$ como una constante de lipschitz.

Tenemos que $\Vert \nabla u \Vert_{L^{\infty}} \leq \liminf\limits_{m\rightarrow \infty} \Vert \nabla u_{m} \Vert \leq \sigma$ ya que la norma es semicontinua inferior.

En primer lugar, observamos que, dado que $u \in W^{1,\infty}(I)$ se deduce que $u$ es localmente Lipschitz (ya que $I$ es compacto se deduce que $u$ es Lipschitz en $I$ ). Así que $u$ es diferenciable en casi todas partes en el sentido clásico de la diferenciación.

Ahora utilizamos lo siguiente:

Considere $\phi(t):= u(tx + (1-t)y)$ $\text{ }$ para $\text{ }$ $t \in [0,1]$

Entonces $\phi(1) - \phi(0) = \int_{0}^{1}{\phi}^{'}(t)dt = \int_{0}^{1}\nabla u(tx + (1-t)y)\cdot(x-y)dt$

$\therefore |u(x) - u(y)| \leq \int_{0}^{1}|u(tx+(1-t)y)||x-y|dt \leq \Vert \nabla u \Vert_{L^{\infty}}|x-y| \leq \sigma|x-y|$

Esto demuestra que $u$ es localmente Lipschitz con la constante Lipschitz $\sigma$ .

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

La prueba es razonable. Cuando se trabaja con espacios de Sobolev, hay que tener en cuenta que los elementos son clases de equivalencia de funciones (coincidentes excepto en un conjunto nulo). Sin embargo, en $W^{k,p}$ con $kp>n$ tenemos un canónico representante de cada clase de equivalencia, es decir, una función continua. Por lo tanto, se entiende, a menudo sin decirlo, que se está considerando este representante.

En general, todo representante de una función de Sobolev es absolutamente continuo sólo en casi todas las líneas (propiedad de ACL, mencionada por Giuseppe Negro). Esto es algo que debe considerarse incluso cuando tenemos continuidad, es decir, cuando $kp>n$ . Un enfoque estándar es utilizar el teorema fundamental del cálculo en los segmentos de línea en los que tenemos continuidad absoluta, y luego utilizar el hecho de que tales segmentos son densos. Así, si no se sabe ya que $W^{1,\infty}\implies $ Lipschitz, este es el camino a seguir. Si se conoce esta implicación, entonces tenemos continuidad absoluta en cada línea automáticamente.

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