Dónde encontrar la referencia sobre el trato con operadores en forma de poder formal de la serie?

Question

A menudo me encuentro con las siguientes declaraciones:

$${D \over e^D - 1} = {\log(\Delta + 1) \over \Delta}$$

$$\int_x^{x+1} f(t)\,dt= {e^D - 1 \over D} [f]$$

$$\Delta = (e^D - 1)\,$$

$$f(a+x)=e^{a D}[f]$$

$$f(a x)=a^{x D}[f]$$

$$f\left(\frac x{1-x}\right)= e^{x^2 D}[f]$$

y así sucesivamente. Donde puedo encontrar

• el conjunto completo de las reglas de tales manipulaciones
• si las manipulaciones son aplicables a los no-lineal de los operadores
• la lista de operadores de esta forma (por ejemplo, operador de convolución, la integración del operador, composición, etc)
• Si la aplicación de dicho constructo a una función distributiva (que es si ${e^D - 1 \over D} f={e^{Df} - 1 \over Df}$

Cualquier otra información también es apreciado.

Answer 1

Como una introducción a la operativa de cálculo, usted puede tratar de mirar Operativa de Cálculo: se Basa en las dos caras de la transformada de Laplace de Van der Pol y Bremmer y Conferencias sobre Aplicaciones Orientadas a las Matemáticas por Friedman. También, un papel por Lindell, "Heaviside Normas de funcionamiento Aplicables a Electromagnético Problemas," tiene una buena visión general de las normas de acción de muchos pseudo-operadores diferenciales (ref. de Muertos Cálculos sitio web).

Friedman libro que da una idea de las aplicaciones, y muchas de las fórmulas de la lista están cubiertos, pero no es tan riguroso o tan sistemática como la de Van der Pol y Bremmer. Estos requieren de un poco pesada estudio con un buen fundamento básico de análisis complejo.

El primer libro en la introducción se explica con un simple operador de la necesidad de algunas sistemática, coherente método de interpretación:

Que la expresión es correcta,

R: $\displaystyle\frac {1}{1-D} = 1+D+D^2+D^3+\cdots$ o

B: $\displaystyle\frac {1}{1-D} = -\left(\frac {1}{D}+\frac{1}{D^2}+\frac{1}{D^3}+\cdots\right)$$\displaystyle\frac{1}{D}H(x) f(x) = H(x)\int^x_0 f(u) \, du$ ?

(H(x) es la función escalón unitario.)

PS: "La serie es divergente, por lo tanto, podemos ser capaces de hacer algo con él." - Heaviside.

El Rigor de lado, Heaviside a menudo se utiliza el operador de expansiones similar a la de Un a generar un asintótica de expansión de la serie de funciones representadas por convergente la serie generada por las expansiones similares a "B". Ver Heaviside del Operador de Cálculo en Dead reglas claras y "asintótico de la solución de un operativo de la ecuación" por Carson.

Busque también en el finito operador de cálculo, o umbral de cálculo, asociados con Blissard, Campana, Stephen Romano, Gian-Carlo Rota, entre otros. Encuesta de artículos están disponibles en la Red, por ejemplo, Una Introducción al Cálculo Umbral de Di Bucchianico, con amplia bibliografía.

Referencias adicionales para varios diferencial de la ops y sus acciones:

H. T. Davis, La Teoría de los Operadores Lineales (por ejemplo, p. 89)

K. Jordania, Cálculo de Diferencias Finitas

MathOverFlow: MO-107159, símbolo de Pochhammer de un diferencial MO-102281, UN misterioso Heisenberg álgebra identidad de Sylvester

MathStackExchange: MSE-116633, MSE-126984, y MSE-169072

OEIS: OEIS-A145271, OEIS-A132440, OEIS-A132681, OEIS-AA094638, OEIS-A021009, OEIS-A218234 (Siga ref. para P. Blasiak y P. Flajolet, G. Dattoli, y W. Lang. Cf. también Mérida Conferencias ... Álgebras de Lie, Representaciones, y Semigroups a Través del Doble Campos Vectoriales por Felipe Feinsilver.)

Answer 2

Es mejor pensar de $D$ es similar a una matriz, en la que realmente no se puede definir la división por $D$, y es una singular (no invertible) función lineal en algún espacio vectorial. Así que usted no puede, en general, definen $F(D)$ cualquier $F$ - por ejemplo, $\frac{1}{D}$ no tiene sentido, porque $D$ no es invertible. (Usted puede ver que $D$ no es invertible porque $D(f+c)=Df$ para cualquier constante $c$.)

Así que usted está atascado con el tipo de operaciones que se pueden hacer con matrices. Una de las cosas que usted puede hacer con matrices es poner en el poder de la serie.

Por ejemplo, si $M$ es una matriz, $e^{M}$ tiene sentido, cuando se definen usando el poder de la serie para $e^z$, y converge para todos $M$. $\frac{e^M-1}{M}$ no es estrictamente sentido, al $M$ a no es invertible, pero si definimos a través de la alimentación de la serie para $\frac{e^z-1}{z}$, entonces sí tiene sentido. Así que, en este sentido, sólo podemos trabajar realmente con el poder de la serie, en lugar de con más funciones generales.