Los productos y el esqueleto de filtración en la K-teoría

Question

Dado un número finito de CW complejo de X, existe una filtración de la topológicos de la K-teoría de X dado por la configuración de $K_n(X) = \ker \left(K(X) \to K(X^{(n-1)})\right)$ donde $X^{(n-1)}$ es el (n-1)-esqueleto de X. (La opción de indexación aquí es de Atiyah-Hirzebruch.)

Mi pregunta es:

¿Cómo esta filtración de interactuar con el producto externo $K(X)\times K(Y)\to K(X \times Y)$? Creo que la respuesta debería ser que $K_n (X) \cdot K_m (Y) \subset K_{n+m} (X\times Y)$.

Para ser claros, y para establecer la notación, este producto externo es la inducida por el envío de un par de vectores paquetes de $V\to X$ $W\to Y$ a la externa producto tensor, que voy a escribir $V\widetilde{\otimes} W = \pi_1^* V \otimes \pi_2^* W \to X\times Y$.

Por supuesto, si $V\in K_n (X)$$W \in K_m (Y)$, $V\widetilde{\otimes} W$ restringe a cero en ambos $K(X^{(n-1)} \times Y)$$K(X \times Y^{(m-1)})$, e $(X\times Y)^{(n+m-1)}$ está contenido en la unión de estos dos subconjuntos. Hay alguna manera de deducir a partir de esta información que la clase $V\widetilde{\otimes} W$ es realmente trivial en $K((X\times Y)^{(n+m-1)})$?

He aquí la razón por la que estoy pidiendo (que en realidad es una segunda pregunta, supongo). En los Personajes y Cohomology Teorías, Atiyah estados (sin comentarios) que para el producto interno $K(X)\times K(X)\to K(X)$, uno ha $K_n (X) \cdot K_m (X) \subset K_{n+m} (X)$. En Atiyah-Hirzebruch, que estado esta fórmula y decir que es "admite a un straighforward la prueba".

Pensé que me acordé de que la straighforward prueba fue la siguiente:

1. Demostrar que el producto externo satisface $K_n (X) \cdot K_m (Y) \subset K_{n+m} (X\times Y)$

2. Observar que si $f:X\to X\times X$ es un celular de aproximación a la diagonal $X\to X\times X$,$f(X^{(n+m-1)}) \subset (X\times X)^{(n+m-1)}$. Así que para cualquier $V, W\in K(X)$,$V\otimes W = f^*(V\widetilde{\otimes} W)$, y si $V\in K_n (X)$$W\in K_m (X)$, luego sigue por el 1. que $V\otimes W\in K_{n+m} (X)$.

Estoy ladrando al árbol equivocado aquí?

Presumiblemente estas preguntas va a tener una respuesta fácil, pero he estado pensando acerca de ellos por un tiempo y no he vuelto más. Cualquier sugerencia o referencias sería genial! No he encontrado otras fuentes, además de los dos mencionados anteriormente y que hablar de la relación entre skeleta y productos, y ninguna de estas fuentes se menciona el caso de productos externos.

Answer 1

Hola Dan, la bienvenida a las Matemáticas de Desbordamiento.

El grupo que denotan $K_m(X)$ es la imagen de la relación K-grupo $K(X,X^{(m-1)})$, que bonitos espacios (por ejemplo, finito de CW-complejos) se compone de clases de equivalencia de diferencias formales $V - W$ de vector de paquetes equipado con un isomorfismo $V|_{X^{(m-1)}} \cong W|_{X^{(m-1)}}$. El producto en K-grupos de ascensores a un exterior de emparejamiento $$K(X,A) \otimes K(Y,B) \a K(X \times Y,a \times Y \taza de X \times B).$$ En particular, si $X$ $Y$ CW, a continuación, utilizando el estándar de CW de la estructura sobre el producto que tenemos $$(X \times Y)^{(n+m-1)} \subset (X^{(n-1)} \times Y) \cup (X \times Y^{(m-1)}).$$ Esto nos da una vinculación exterior $$K(X,X^{(n-1)}) \otimes K(Y,Y^{(m-1)}) \a K(X \times Y,(X \times Y)^{(n+m-1)})$$ que levanta el ordinario de la K-teoría de producto, e implica el resultado que usted desea acerca de la imagen del grupo $K_n(X) \times K_m(Y)$. Esta respuestas de tu parte (1) y (2) de la siguiente manera tal y como lo dijo.