Evaluar este límite $$\lim_{x \to 0} \frac{x^{6000} - (\sin x)^{6000}}{x^2(\sin x)^{6000}}$$
¿Cuál es el método?
La respuesta es $1000$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ok, una manera de intimidar a los estudiantes es el uso de grandes números como 6000 en las preguntas. Una herramienta sencilla para vencer a esta estrategia de examinador es reemplazar el gran número por un símbolo genérico decir $n$. Por lo tanto, calcular el límite $$f(n) = \lim_{x \to 0}\frac{x^{n} - \sin^{n}x}{x^{2}\sin^{n}x}$$ where $n$ is a positive integer. The answer for the question is $f(6000)$.
Tenemos \begin{align} f(n) &= \lim_{x \to 0}\frac{x^{n} - \sin^{n}x}{x^{2}\sin^{n}x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\dfrac{x - \sin x}{x^{3}\cdot\dfrac{\sin x}{x}}\cdot\dfrac{{\displaystyle \sum_{i = 0}^{n - 1}x^{i}\sin^{n - 1 - i}x}}{\sin^{n - 1}x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{x - \sin x}{x^{3}}\sum_{i = 0}^{n - 1}\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{i}\notag\\ &= \sum_{i = 0}^{n - 1} 1\cdot \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{3x^{2}}\text{ (via L'Hospital's Rule)}\notag\\ &= \frac{n}{6}\notag \end{align} y por lo tanto la respuesta deseada es $f(6000) = 1000$.
egreg
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user5713492
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Desde $\sin(n+1)x=2\sin nx\cos x-\sin(n-1)x$, tenemos $$\begin{align}\sin3x&=2\sin2x\cos x-\sin x=2(2\sin x\cos x)\cos x-\sin x\\ &=4\sin x(1-\sin^2 x)-\sin x=3\sin x-4\sin^3x\end{align}$$ A continuación,$\sin x=\sin(3(x/3))=3\sin(x/3)-4\sin^3(x/3)$. Entonces $$\begin{align}\frac{x^n-\sin^nx}{x^2\sin^nx}&=\frac{(3(x/3))^n-(3(\sin(x/3)-(4/3)\sin^3(x/3)))^n}{x^2\sin^nx}\\ &=\frac{(3(x/3))^n-3^n\sin^n(x/3)+n\cdot3^n(4/3)\sin^{n+2}(x/3)+O(\sin^{n+4}(x/3))}{x^2\sin^nx}\\ &=\frac{(3(x/3))^n-3^n\sin^n(x/3)}{x^2\sin^nx}+\frac{n\cdot3^n(4/3)\sin^{n+2}(x/3)}{x^2\sin^nx}+\frac{O(\sin^{n+4}(x/3)}{x^2\sin^nx}\\ &=\frac{(3(x/3))^n-3^n\sin^n(x/3)}{(3(x/3))^2(3^n\sin^n(x/3))+O(\sin^{n+2}(x/3)))}\\ &+\frac{n\cdot3^n(4/3)\sin^{n+2}(x/3)}{(3(x/3))^2(3^n\sin^n(x/3))+O(\sin^{n+2}(x/3)))}+\frac{O(\sin^{n+4}(x/3)}{x^2\sin^nx}\end{align}$$ Así $$\begin{align}\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^n-\sin^nx}{x^2\sin^nx}&=\lim_{x\rightarrow0}\frac{3^n}{3^{n+2}}\frac{(x/3)^n-\sin^n(x/3)}{(x/3)^2\sin^n(x/3)}\frac{1}{\left(1+\frac{O(\sin^{n+2}(x/3))}{3^n\sin^n(x/3)}\right)}\\&+\lim_{x\rightarrow0}\frac{4n\cdot3^{n-1}}{3^{n+2}}\frac{\sin^{n+2}(x/3)}{(x/3)^2\sin^n(x/3)}\frac{1}{\left(1+\frac{O(\sin^{n+2}(x/3))}{3^n\sin^n(x/3)}\right)}+\lim_{x\rightarrow0}\frac{O(\sin^{n+4}(x/3)}{x^2\sin^nx}\\ &=\frac19\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^n-\sin^nx}{x^2\sin^nx}\frac1{1+0}+\frac{4n}{27}\frac1{1+0}+0=\frac98\frac{4n}{27}=\frac n6=\frac{6000}6=1000\end{align}$$ Algo así como la serie de Taylor, pero usando identidades trigonométricas lugar. Que $O(\sin^{n+4}(x/3))$ término representa más de los términos del binomio de expansión que tiene, al menos, el factor de $\sin^{n+4}(x/3)$, por lo que sus límites cuando se divide simplemente por $\sin^{n+2}(x/3)$ son todos cero. Estamos, por supuesto, el uso de $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x3)}{(x/3)}=1$$
Eugen Covaci
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SUGERENCIA Dividir el denominador y el numerador por $x^{6000}$ uso de $\lim_{x \to 0} \frac {\sin(x)} x =1$
Usted obtiene: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac {\sin x} x)^{6000}}{x^2} $$ Ahora aplicar L'Hospital: $$ \lim_{x \to 0} \frac{- 6000 (\frac {\sin x} x)^{5999} (\frac {\sin x} x )'} {2x} = \lim_{x \to 0} \frac{- 6000 ( (\frac {\sin x} x )'} {2x} $$ then again L'Hospital after calculating $(\frac {\sin x} x )'$, etc.
Debra
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Esta respuesta es bastante inútil para los resultados de por sí, mucho más corta de las pruebas se han dado. Honestamente, me tomó algo de tiempo para escribir, y yo podría no acaba de abandonarla en el bosque.
[EDITAR] Su intención es jugar con el estándar de las desigualdades, que son útiles para tener en cuenta, y mantenerlos el mayor tiempo posible, sin utilizar la regla de l'Hôpital, que reverencio para la visión. Sin embargo, se requiere de ciertos cuidados, y probablemente debería mencionar Johan Bernoulli en su nombre. Mantener las desigualdades pueden proporcionar estimaciones de la tasa de convergencia.
La función de ( $f(x)$ ) es aún. El endeudamiento de @Paramanand Singh notación, puede ser factorizados como:
$$f(x) = \frac{1 - \left(\frac{\sin x }{x}\right)^n}{x^2 \left(\frac{\sin x }{x}\right)^n}\,.$$
Podemos utilizar el estándar de las desigualdades suficientemente cerca de a $0^+$: $$ 1-ny \le (1-y)^n \le 1-ny + \frac{n(n+1)}{2} y^2$$ para $n>0$ y $$ x - \frac{x^3}{6} \le \sin x \le x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{5!} $$ por lo tanto $$ 1 - \frac{x^2}{6} \le \frac{\sin x }{x} \le 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{5!}\,.$$
A partir de la última de ellas, podemos ver que $\left(\frac{\sin x }{x}\right)^n \to 1$, por lo que nos olvidamos de él y de estudio de la $g(x) = f(x)\left(\frac{\sin x }{x}\right)^n$.
Mediante la sustitución de arriba $y$ $ \frac{x^2}{6} $ o $ \frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{5!}$ , tenemos: $$ n x^2 \left(\frac{1}{6} - \frac{x^2}{5!}\right) - \frac{n(n+1)x^4}{2}\left(\frac{1}{6} - \frac{x^2}{5!}\right) ^2\le 1 - \left(\frac{\sin x }{x}\right)^n \le n\left(\frac{x^2}{6} \right)$$ por lo tanto $$\frac{n}{6}+a_nx^2+b_n x^4+c_nx^6\le g(x) \le \frac{n}{6}$$ con constantes $a_n,b_n,c_n $ que se puede calcular de forma explícita, especialmente si desea algún tipo de convergencia, por ejemplo, llegué a $a_n = -\frac{n(5n+8)}{360}$. Y para tu pregunta, por supuesto, el límite es de $1000 = 6000/6$.
Aquí está una simulación visual de los límites de la función $g(x)$, sólo por $n=4$ numéricas razones:
