Que $f$ estar terminantemente aumentando y $g,\ g\circ f$ es continua. ¿Esto implica que el $f$ es continuo?

Question

Que $f,\ g: \mathbb R \to \mathbb R $ ser dos funciones nonconstant . Que $f$ estar terminantemente aumentando y $g,\ g\circ f$ es continua. ¿Esto implica que el $f$ es continuo? ¿Cómo pensar esta pregunta gráficamente?

Answer 1

Si $g$ es constante, entonces $f$ puede ser cualquier cosa.

Deje $f$ $$f(x) = \begin{cases} x & x < 0 \\ x+1 & x \ge 0 \end{cases}$$ $f$ es estrictamente creciente y no continua en $x=0$.

Si $g$ es cualquier función continua tal que $g(0)=g(1)$, $g \circ f$ es continua.