¿Por qué hay solamente veinte idiomas?

Question

(donde $n>0$)

Me han enseñado que siempre tenga una ecuación con la más alta energía $n$ $n$ soluciones. Esto no parece ser el caso de: %#% $ $$x^n=1 \implies x=\pm1$ #% siendo incluso, las soluciones son $n$ y $1$; donde es impar, que la única solución es $-1$ $n$.

¿Por qué? ¿Es un caso especial, o hay algo que me falta?

Answer 1

Tiene raíces de $n$, pero sólo si tenemos en cuenta las raíces $x_i\in \Bbb C$. Estos "especiales" son calleds las raíces de la unidad.

Como ejemplo, considere $X^4=1$; probar ver que $X_1=i$ es una raíz de dicha ecuación.

Answer 2

Cuando speek acerca de las soluciones de una ecuación debe siempre ser cuidadoso acerca de la "estructura algebraica" (En un lenguaje especializado Campos/Anillos) que estás buscando una solución.

Por ejemplo, la búsqueda de una solución en $\mathbb{Z}$ no es igual a la búsqueda de una solución a través de $\mathbb{Q}$ incluso en los casos más sencillos.

Un ejemplo interesante de este fenómeno es el polinomio $2x-1$.

Los relacionados con la ecuación no tiene solución en el ring $\mathbb{Z}$, pero una solución única en $\mathbb{Q}$ (que es especializado en lenguaje de $\mathbb{Z}$'s de la fracción de campo).

Mirando más de cerca a su caso, dado un polinomio con una variable (el llamado "univariante polinomio de grado $n$, asociado de la ecuación siempre ha $n$ solución en (el campo) $\mathbb{C}$ pero puede no tener solución en el campo) $\mathbb{R}$

Mira por ejemplo el polinomio $x^2+1$.

Álgebra, en cierto sentido, es el estudio de estas diferencias, pero algo seguro que son los siguientes teoremas:

Teorema Deje $p(x)$ ser un univariante polinomio de grado $n$. Entonces no siempre existe un "grande" estructura algebraica (llamada la división de campo de la polinomio p) donde la ecuación de $p(x)=0$ ha exactely $n$ soluciones (contadas con multiplicidad)

Por ejemplo, en un caso anterior, el campo de $\mathbb{C}$ es la división de campo de la $x^2+1$ $\mathbb{R}$

Bueno, para concluir, vamos a speack acerca de $\mathbb{C}$. Es una muy "bonita" algebraico de estructura, porque tiene una muy buena propiedad:

Teorema Deje $p(x)$ un univariante polinomio de grado $n$ con coeficientes en $\mathbb{C}$. A continuación, $p(x)=0$ ha exactely $n$ solución de $\mathbb{C}$ (contadas con multiplicidad)

En particular, desde la $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$, un polinomio real es un complejo polinomial y sus asociados ecuación siempre ha $n$ solución compleja, pero no ha $n$ soluciones reales. Este es precisamente el caso de $x^2+1$.

No hay muchos" estructura algebraica con la misma propiedad de $\mathbb{C}$. Este tipo de estructuras se denominan "algebrically campos cerrados" y son uno de los más importantes objetos de Álgebra.

Answer 3

La declaración de que siempre hay soluciones de $n$ solamente es cierto si se trabaja en el campo de números complejos. En el campo de los números reales esto no es cierto, como lo han demostrado.

Tenga en cuenta que incluso en el campo de números complejos, una solución puede ocurrir varias veces, es decir, $(x-1)^2$ tiene un cero doble en $1$. En ese caso, debe definir cómo se cuenta el número de soluciones.

Answer 4

Aviso, tenemos $$x^n=1$$ $$x=(1)^{1/n}$$ $$=(\cos 0+i\sin 0)^{1/n}$$ $$=(\cos 2k\pi+i\sin2k\pi)^{1/n}$$ $$=\left(\cos \left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)$$ Thus there are $n $ roots which can be determined by setting $k = 0, 1, 2, \ldots (n-1) $