¿Cuál es la correcta noción de determinante de una emparejamiento bilineal?

Question

Por un emparejamiento en un espacio vectorial $V$, me refiero a una lineal mapa de $A : V \otimes V \to R$. Si $V$ $n$- dimensional ($n < \infty$), a continuación, puede definir el determinante de a $A$ considerando canónica de la acción de $A$$\bigwedge^n V \otimes \bigwedge^n V \to R$. De hecho, yo debería definir $\det A$ a este mapa, que voy a llamar a $\bigwedge^n A$. Recuerde que $\bigwedge^n V$ es unidimensional, y los pares canónicamente con el espacio de volumen en $V$. Así que si $V$ tiene una forma de volumen $\mathrm{vol}$, podemos definir a la $\det A$$\bigwedge^n A(\mathrm{vol}^{-1} \otimes \mathrm{vol}^{-1})$.

Para la comparación, si yo tuviera un operador $A: V\to V$, entonces me gustaría ver en el mapa $\bigwedge^n A: \bigwedge^n V \to \bigwedge^n V$. Pero $\bigwedge^n$ es unidimensional, por lo $\bigwedge^n A$ consiste en la multiplicación por un escalar, y esta escalar es $\det A$. Por otro lado, si usted escoge una identificación $V \cong V^*$, entonces se puede pensar en una vinculación de un operador; la identificación determina un no-cero de la forma de volumen, y las nociones de son los factores determinantes de la misma.

En cualquier caso, estas definiciones no trabajo para el infinito-dimensional espacios vectoriales, porque no hay una `cuña". Me gustaría una noción de "el determinante de una vinculación" como la zeta-función regularizado determinante de un operador.

Answer 1

Pido disculpas a Andrew Stacey con antelación, puesto que lo que iba a decir, es básicamente lo que está diciendo.

Considere la posibilidad de un número finito de dimensiones del espacio. Hay una noción de determinante de un operador (operador se define como mapa de $V \otimes V^* \to \mathbb R$). Esta es una simple idea, un producto de los autovalores, o una traza en un espacio tridimensional de $V^{top} \to V^{top}$.

Ahora usted puede encontrar un isomorfismo $V^* \to V$ por el no-degenerada escalar de la forma $(\dot, \dot)$ — por lo que hay una manera de decir que, para el emparejamiento y escalar de forma que hay un factor determinante que es un número. Pero todavía no vamos a pensar en él como un determinante de un emparejamiento — es realmente un factor determinante de un operador.

La situación es básicamente la misma, con infinitas dimensiones de los espacios. Seleccione su favorito esquema de regularización — una manera de calcular los productos de la serie infinita de números (por ejemplo, zeta-regularización) y definir un operador $X$ determinante $\det X$ como producto de sus valores propios, si converge, o dejar sin definir todavía no lo es. Para un emparejamiento $A$ puede hacer que siempre hay un escalar de forma fija, que es cuando usted tiene un espacio de Hilbert.

Usted puede pensar acerca de la cuña de la parte superior del formulario de aquí, pero entonces usted tiene que definir la cuña de la parte superior para un inifite de espacio tridimensional. Claro, puede ser hecho de manera formal y usted será capaz de definir la acción del operador en esto al referirse al párrafo anterior, para que el significado de det, pero no sé de ningún suficientemente manera diferente a la de inicio de la cuña de la parte superior y obtener det a partir de ahí.

Voy a buscar las referencias. Tenga en cuenta que la filosofía de la física es ligeramente diferente. Ellos no necesitan para calcular dets arbitraria de los operadores, sino que algunos operadores específicos para los que saben la respuesta debe ser finito y el hecho de que nuestro primer cálculo da infinito es porque es sólo una aproximación a la derecha de cálculo y un estúpido aproximación.

Answer 2

Estoy tratando de entender tu pregunta. En el verdadero wiki-espíritu, voy a tratar de esto públicamente en la esperanza de que usted o alguien más puede aclarar esto por mí.

Usted comienza con un número finito de dimensiones definición. Tenemos un lineal de Un mapa: V⊗V → ℝ. A partir de esto se produce un mapa A: ⋀ⁿ V ⊗ ⋀ⁿ V → ℝ. Yo no veo este mapa. Supongo que se supone que a la par de elementos en los dos factores y aplicar, de manera de obtener Una(v_i ⊗ u_j) para cada i y j. Que de cierta manera le da una matriz, no muy bien definida, ya que puedo intercambiar filas y columnas a expensas de un signo de intercambio. Por supuesto, tomar el determinante de esta matriz me da algo sensato. Eso significa que puedo definir det(A) como una función a ser det[A(v_i ⊗ u_j)]. Es esto lo que quieres decir?

Vamos a ver si eso tiene sentido para su segundo párrafo, donde yo creo que sé lo que está pasando. Vamos a empezar con Un: V → V y para Una: ⋀ⁿ V → ⋀ⁿ V. Que estoy contento con el. A continuación, ya que es unidimensional, tengo un canónica escalares que yo llamo det(A).

Ahora imaginemos que tenemos una identificación Ψ:V ≅ V^*. Ahora usted dice que podemos usar para convertir un operador en un emparejamiento, presumiblemente a través de Un ↦ (u⊗v ↦ Ψ(u)(Av). Ψ también nos da una forma de volumen para ⋀ⁿ V, y estoy muy dispuesto a creer que las dos nociones coinciden.

Ahora quiere hacerlo en infinitas dimensiones.

En primer lugar, existe una noción de la parte superior exterior de la potencia de un infinito dimensional espacio vectorial. No hay absolutamente ningún problema con eso. Sin embargo, si estoy en lo correcto sobre lo que estamos tratando de hacer, entonces, que no ayuda a usted ya que usted necesita para tomar el determinante de una infinita matriz con el fin de definir el determinante de una vinculación. Además, no define el determinante de una arbitraria (aun continuo) operador lineal, por lo que no sería de ayuda con la otra definición.

En segundo lugar, el "emparejamiento" entre los emparejamientos y los operadores en infinitas dimensiones no es tan estrecha como en dimensiones finitas. Hablar alegremente acerca de la selección de una identificación V ≅ V^*. Que sugiere que usted está pensando en espacios de Hilbert. No estoy muy claro lo que es una "suave derichlet función" es (y no me refiero sólo a la ortografía de Dirichlet), así que no puedo estar seguro, pero su ejemplo no se siente como un espacio de Hilbert.

Hay una noción de que un operador con una participación determinante en infinitas dimensiones, pero no estoy seguro de que esto va a ayudar a cualquiera.

Un emparejamiento es realmente un mapa V → V , en el disfraz. Por supuesto, hay otros espacios de Hilbert espacios para que V es isomorfo a V, pero en general uno piensa acerca de los espacios de Hilbert en este contexto. Si no lo es, y sólo tiene un no-degenerado "estándar" de emparejamiento en el espacio luego de recibir una inyección V → V^* y no hay ninguna garantía de que la imagen del mapa derivado de la vinculación va a terminar en V. Para asegurarse de que usted tiene que tener fuertes condiciones en el emparejamiento, que probablemente le impide ser un operador con una participación determinante.

Sin embargo, de traer a la zeta renormalisation, momento en el que me temo que no puedo ayudarte. Pero no estoy seguro de que tu pregunta es demasiado preocupados con zeta renormalisation ya que es, para usted, una cantidad conocida: usted sabe lo que los zeta renormalisation de la determinante de su operador es, pero desea obtener directamente de la definición del determinante de la vinculación. Así, el punto es la definición, no la renormalisation. Al menos, esa es mi lectura de la misma.

Pido disculpas de que no se trata de todos modos de forma remota cerca de una respuesta, pero es un poco largo para un comentario y podría ayudar a alguien a dar una respuesta efectiva. Pensé que vale la pena compartir mis intentos de entender la pregunta, sin embargo. Si no, me voy feliz de eliminar.