Moverse de un Acoplamiento a otro

Question

Deje $X,Y$ dos discretas variables aleatorias. Dos conjunta de las distribuciones de masa (acoplamientos) con marginales $X$ $Y$ y con entradas de $p_{i,j}=\mathbb{P}_1(X=i,Y=j)$ $p_{i,j}'=\mathbb{P}_2({X=i,Y=j})$ corresponden a dos matrices $(p_{i,j}), (p_{i,j}').$

Hay una transformación lineal que los mapas de $(p_{i,j})\mapsto(p_{i,j}')$?

Si no, hay una forma de pasar de un determinado acoplamiento de $X,Y$ a cualquier otro acoplamiento de $X,Y$?

La razón que pido es porque tengo un acoplamiento de $X,Y$ y me pregunto si un acoplamiento que existe. Si no hay ningún resultado que nos permiten pasar de un dado el acoplamiento a cualquier otro acoplamiento, tal vez esto puede ser usado para proporcionar el acoplamiento deseado o demostrar que no existe.

Answer 1

No hay ninguna transformación lineal en general. Deje $p_{i,j}=1/4$ por cada $1\le i,j\le 2$ $p'_{i,j}=1/2$ si $i=j$, 0 en caso contrario. Entonces necesitaríamos una matriz de $A$ con $$\frac14 A \begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}=\frac12\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$$ Pero la clasificación del producto de dos matrices es $\le$ el mínimo de las filas, así que esto es imposible.