Cómo encontrar a $x^{2000}+x^{-2000}$ al $x + x^{-1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$

Question

Deje $x+x^{-1}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Encontrar $x^{2000}+x^{-2000}$.

Cuántos agradable métodos ¿sabe usted para resolver este problema? Gracias a todos.

Mi método: debido a $x+\dfrac{1}{x}=2\cos{\dfrac{2\pi}{5}}$, lo $$x^{2000}+\dfrac{1}{x^{2000}}=2\cos{\dfrac{2000\pi}{5}}=2.$$

Puede usted pensar, bueno de otros métodos? O este problema no ha utilizado el teorema de Euler: $(\cos{x}+i\sin{x})^n=\cos{nx}+i\sin{nx}$

Answer 1

Aquí es una expresión algebraica que evita funciones trigonométricas: tenga en cuenta que su número $x$ satisface $$x^2-(\frac{1+\sqrt{5}}{2})x+1=0 \quad \implies \quad \text{by multiplying by the conjugate} \quad x^4-x^3+x^2-x+1=0$$ y, a continuación, utilizar la factorización $$x^{10}-1=(x^6+x^5-x-1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$ to see that $x^{10}=1$.

Answer 2

Sólo una nota.

Si $x \in \mathbb{R}$,$x+x^{-1} \geqslant 2$. Por lo tanto, hay no $x$, de tal manera que $x+x^{-1}=\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Si $x \in \mathbb{C}$, después denotar $x = m (\cos \alpha + i\sin \alpha)$ donde $m,\alpha \in \mathbb{R}$.
Por eso, $x^{-1} = m^{-1}(\cos\alpha - i\sin \alpha)$, y $$ x+x^{-1} = (m+m^{-1})\cos \alpha + i (m - m^{-1})\sin\alpha \implica $$ $ m = m^{-1}=1, \cos \alpha = \varphi/2$.

Sí, si $x\in \mathbb{C}$, entonces no hay sentido.

Answer 3

$$x+x^{-1}=\frac{\sqrt5+1}2$$

$$\implies 2x^2-x+2=\sqrt5x$$

$$\text{On squaring,} (2x^2-x+2)^2=5x^2$$

$$\implies 1-x+x^2-x^3+x^4=0$$

$$\text{ or, }x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2\cdot x\cdot\frac1x=\left(\frac{\sqrt5+1}2\right)^2-2=\frac{\sqrt5-1}2$$ $$\implies x+\frac1x-\left(x^2+\frac1{x^2}\right)=1\implies 1-x+x^2-x^3+x^4=0$$

que es una Serie Geométrica con razón común $=-x$ y el primer término es $=1$ $$\implies 1-x+x^2-x^3+x^4=\frac{1+x^5}{1+x}\implies 1+x^5=0$$

$$\text{ or } 1+x^5=(1+x)(1-x+x^2-x^3+x^4)=0$$

$\implies x^5=-1\implies x^{10n}=(x^5)^{2n}=(-1)^{2n}=1$

Poner $n=200,-200$

Answer 4

Sólo la adición de una manera diferente de mirar (totalmente anotación de Steve excelente respuesta basada en la factorización de la décima cyclotomic polinomio sobre $\mathbb{Q}[\sqrt5]$).

Deje $t=x+\dfrac1x$. Nos deja denotar $t_n=x^n+\dfrac1{x^n}$. Calculamos $$ t^3=x^3+3x+\frac3x+\frac1{x^3}=t_3+3t, $$ $$ t^5=x^5+5x^3+10x+10\frac1x+5\frac1{x^3}+\frac1{x^5}=t_5+5t_3+10t. $$ A partir de estos se puede resolver fácilmente $$ t_3=t^3-3t,\qquad \text{y}\qquad t_5=t^5-5t_3-10t=t^5-5t^3+5t. $$ Esta vez $t=(1+\sqrt5)/2$, lo $t^3=2+\sqrt5$$t^5=(11+5\sqrt5)/2$, y por lo tanto a partir de la fórmula anterior obtenemos $$ t_5=\cdots=-2. $$ A partir de la ecuación (una ecuación cuadrática en el desconocido $x^5$) $$ x^5+\frac{1}{x^5}=t_5=-2 $$ llegamos $x^5=-1$ como la única solución. El OP es el resultado de la siguiente manera fácilmente.

De todos modos, lo que yo quería agregar es que el llamado Dickson polinomios nos dan (entre otras cosas) fórmulas para $t_n$ grado $n$ polinomio de $t$. De vez en cuando vienen muy bien con este tipo de problemas.

Answer 5

Dependiendo de lo que uno quiere hacer con esto, uno puede tratar el proceso como un isoseries, basado en el $a(n+1) = k \cdot a(n) - a(n-1)$. Hay algoritmos que pueden generar estos números para cualquier forma de multiplicación, incluyendo la forma modular (ie $(a\cdot b ) mod c$.

Las siguientes iteraciones mostrar el valor para la búsqueda de $a(37)$. Las primeras dos columnas son reales enteros, como se muestra. 37 es impar, lo que produce un "1". Esto significa que podemos mantener los valores en O0 y O1. El valor de 37 dividido por 2 da 18, un número par. Mantenemos la valuse en E0 y E1.

Los valores entre paréntesis son los valores de $a(n)$, como se muestra (n). La tercera columna es la de las potencias de 2, por $a(2n) = a(n)^2 - 2$. Los valores de las columnas 4 a partir de mostrar los poderes, en los pasos de los poderes. Tenemos, por ejemplo, $a(5) = $(2) \cdot(3) - (1)$.

$a(0)=2 = x^0 + x^{-0}$, and $a(1) = un$.

                  P2   E0     O0     E1    O1
       37   1    (1)   (0)   (1)    (2)    (3)
       18   0    (2)   (1)   (3)    (5)
        9   1    (4)   (1)   (5)    (9)   (13)
        4   0    (8)   (5)   (13)   (21)
        2   0    (16)  (5)   (21)   (37)
        1   1    (32)  (5)   (37)