En mis intentos de derivar la forma cerrada para la arclength de la hipérbola, terminé con la siguiente integral:
$$\int\frac{\sqrt{1-m\;\sin^2 u}}{\sin^2 u}\mathrm{d}u$$
Soy consciente de que estas integrales se pueden expresar como combinaciones de las integrales elípticas y las funciones trigonométricas, y Mathematica devuelve un resultado que contiene las integrales elípticas. Sin embargo, el resultado que obtuve de Mathematica parece sugerir que el original integrando se dividió así:
$$\frac{\sqrt{1-m\;\sin^2 u}}{\sin^2 u}=\frac{1-m}{\sqrt{1-m\;\sin^2 u}}-\sqrt{1-m\;\sin^2 u}+\frac{\csc^2u-m\;\sin^2 u}{\sqrt{1-m\;\sin^2 u}}$$
y luego integrado para producir la expresión que contiene la elíptica integrales.
Lo que estoy atascado con cómo esta división fue pensado para que la última integral es expresable en términos de Legendre de las integrales elípticas. Una posible pista en el hecho de que a través de una sustitución adecuada, el original de la integral se puede expresar como
$$\int\mathrm{ds}^2(v|m)\mathrm{d}v$$
donde $\mathrm{ds}(v|m)=\frac{\mathrm{dn}(v|m)}{\mathrm{sn}(v|m)}$ es un Jacobiano elíptica de la función, de la que esta fórmula se aplica. Sin embargo, no sé cómo la fórmula aparece en la DLMF se deriva, y sospecho que la respuesta a mi pregunta también explicar que la leche de fórmula.
Agradecería cualquier ayuda en la comprensión de por qué el integrando se dividió en esa forma.
Actualización:
Trivialmente,
$$\mathrm{ds}^2(v|m)=\mathrm{ns}^2(v|m)-m=1-m+\mathrm{cs}^2(v|m)$$
La integral elíptica de segunda especie se supone que surgen debido al hecho de que
$$\int\mathrm{dn}^2(v|m)\mathrm{d}v$$
$$=\int\mathrm{dn}(v|m)\mathrm{d}(\mathrm{am}(v|m))$$
$$=\int\sqrt{1-m\;\mathrm{sn}^2(v|m)}\mathrm{d}(\mathrm{am}(v|m))$$
$$=\int\sqrt{1-m\;\sin^2(\mathrm{am}(v|m))}\mathrm{d}(\mathrm{am}(v|m))$$
$$=E(\mathrm{am}(v|m)|m)$$
así que supongo que averiguar cómo integrar las plazas de cualquiera de $\mathrm{cs}$, $\mathrm{ns}$, o $\mathrm{ds}$ haría el truco. Sospecho que algo como integración por partes o trucos similares a los utilizados para la integración de los coeficientes de las funciones trigonométricas que trabajo aquí, pero me parece que no puede encontrar la estrategia adecuada.
Sin embargo, otra manera sería mostrar que
$$-\int\left(\mathrm{cs}^2(v|m)+\mathrm{dn}^2(v|m)\right)\mathrm{d}v=\mathrm{cs}(v|m)\mathrm{dn}(v|m)$$
La diferenciación de los RHS da el integrando, pero suponiendo que no conocía esta expresión, ¿cómo sería esta integral se evalúa?
