Prueba

Question

He comprobado que muchos de los valores de esta desigualdad, pero no tengo la completa demostrando.

$$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a.....}}}}-\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a....}}}}=1$$ if $$a>1$$

Answer 1

Definir $x = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a +\cdots}}}$$y = \sqrt{a - \sqrt{a - \sqrt{a -\cdots}}}.$, Luego tenemos a$x^2 = a+ x$$y^2 = a-y$.

Ahora calcular $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2 = x+y$. La cancelación de $x+y$ desde ambos lados da $x-y = 1$, que es el resultado que buscas.

(Por supuesto, he ignorado la convergencia aquí y sólo funcionó formalmente).

Answer 2

este es $$\lim U_n - \lim u_n$$ donde $$U_{n+1 } = \sqrt{a + U_n} \\ u_{n+1 } = \sqrt{a - u_n}$$

Siempre que ambos límites existe, hay soluciones de $$U^2 = a + U\\ u^2 = a - u$$ la parte $b^2 - 4ac$ es el mismo, por lo que sólo se conserva la $-\frac b {2a}$ parte de ambas ecuaciones cuadráticas, dando $$U - U = \frac 12 - \left(-\frac 12\right) = 1$$

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Otra "prueba":

$$\begin{align} \delta &= \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a +\cdots}}}- \sqrt{a - \sqrt{a - \sqrt{a -\cdots}}} \\&= \frac{a + \sqrt{a + \sqrt{a +\cdots}} - \left[a - \sqrt{a - \sqrt{a -\cdots}}\right]} {\sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a +\cdots}}}+ \sqrt{a - \sqrt{a - \sqrt{a -\cdots}}}} \\&= \frac{ \sqrt{a + \sqrt{a +\cdots}} + \sqrt{a - \sqrt{a -\cdots}}} {\sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a +\cdots}}}+ \sqrt{a - \sqrt{a - \sqrt{a -\cdots}}}} \\&=1 \end{align}$$