¿Son $(C[0,1],d_\infty)$ y $(C[0,1],d_1)$ homeomorfa?

Question

Dos espacios métricos son homeomórficos si hay un bijection f entre ellas, de tal forma que $f$ $f^{-1}$ son continuos.

Considere la posibilidad de $C[0,1]$ con métricas:

$d_\infty (f,g)=\max_{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|$

$d_1(f,g)=\int_0^1|f(x)-g(x)|dx$

Ya sabemos que el mapa de identidad $(C[0,1],d_1)→(C[0,1],d_∞)$ no es continua en (Probar que el mapa de identidad $(C[0,1],d_1) \rightarrow (C[0,1],d_\infty)$ no es continua). ¿Esto implica $(C[0,1],d_∞)$ $(C[0,1],d_1)$ no homeomórficos?

O podrías encontrar un bijection que es continua en ambas direcciones?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

No, no son. Confirmando una conjetura de Banach, Victor Klee probó que si existe una métrica completa en un normalizadas (o, más generalmente, metrizable vector topológico) induciendo la topología de la norma (espacio del vector) y luego la norma (uniformidad inducida por el espacio del vector del espacio topología) es completa. Esto puede verse, por ejemplo, en libro Vector topológico espacios I, página 165 de Köthe.

Claramente, $d_1$ no es completa.