Determinante de un matrice $a_{ij}=e^{a_ib_j}$

Question

1) Vamos a $a_1<\dots<a_n$ números reales y $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$

Deje $f(x)=\lambda_1e^{a_1x}+\dots+\lambda_ne^{a_nx}$

Mostrar que $f$ tiene más de $n-1$ ceros

2) Además, permitir a $b_1<\dots<b_n$ números reales.

Mostrar que $\det A>0$ donde $A$ es la matriz con los coeficientes de $a_{ij}=e^{a_ib_j}$

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Para 1) : traté de recurrencia, pero dio bastante rápido ya que no parece que no me llevan a ninguna parte. Entonces, me comentó que $\sum_{k=1}^n\lambda_ke^{a_kx}=0$ se parecía a lo que hacen, tratando de demostrar que un conjunto es linealmente independiente, pero como que no mantenga para cada $\lambda_k\in\mathbb{R}$ estaba atrapado.

Para 2) : Después de buscar, yo no encontrar nada bueno. Yo realmente no tengo idea de para este.

Answer 1

Primera Parte

Esto es cierto para $n=1$.

Supongamos que esto es cierto para $n-1$.

Desde $\lambda_1e^{a_1x}\ne0$ podemos dividir por eso para conseguir $$ 1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}e^{(a_2-a_1)x}+\frac{\lambda_3}{\lambda_1}e^{(a_3-a_1)x}+\dots+\frac{\lambda_n}{\lambda_1}e^{(a_n-a_1)x} $$ tomando la derivada da $$ \frac{\lambda_2}{\lambda_1}(a_2-a_1)e^{(a_2-a_1)x}+\frac{\lambda_3}{\lambda_1}(a_3-a_1)e^{(a_3-a_1)x}+\dots+\frac{\lambda_n}{\lambda_1}(a_n-a_1)e^{(a_n-a_1)x} $$ que, de acuerdo a la hipótesis inductiva, sólo ha $n-2$ ceros. Si la derivada de una función ha $n-2$ ceros, la función sólo puede tener $n-1$ ceros.

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Segunda Parte

Tenga en cuenta que la primera parte es cierto siempre y cuando al menos uno de los $\lambda_k$ no es cero. Si al menos $m$ ($1\le m\le n$) de la $\lambda_k$ no son cero, podemos usar el resultado para $m$ lugar y conseguir que existen en la mayoría de las $m-1\le n-1$ ceros.

Supongamos que $$ A^T\begin{bmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\vdots\\\lambda_n\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}f(b_1)\\f(b_2)\\\vdots\\f(b_n)\end{bmatrix}=0 $$ Desde $f$ tiene más de $n-1$ ceros, todos los de la $\lambda_k$ debe $0$. Por lo tanto, $A$ es no singular, y por lo tanto $\det(A)\ne0$.