¿Cómo determinar si $M\subset\mathbb R^n$ está contenida en un plano de % de $m$?

Question

Que $M$ ser un múltiple dimensional del $k$ $\mathbb R^n$. ¿Cómo determinar si $M$ está contenida en un plano de dimesnional de $m$ ($m\geq k$)?

Sé que es una forma de adivinar un $p\in \mathbb R^n$y $(n-m)$ vectores $v1,...,v{n-m}\in \mathbb R^n$ tal que $<x-p>=0$para cada % de $x\in\mathbb R^n$ y cada $v_i$. Pero quiero un método más sistemático. (por ejemplo, sé que $k=1$, $m=2$, deberemos comprobar si $M$ tiene cero torsión.)</x-p>

Gracias.

Answer 1

Si tienes el % de inclusión $f\colon M\to\Bbb R^n$, quiere mirar el % de espacios osculating varias $T^{(k)}_p M\subset \Bbb R^n$. Aquí $$T^{(k)}p M = \text{Span}\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\big|{x(p)},\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}\big|_{x(p)},\dots,\frac{\partial^k f}{\partial x^{i_1}\dots\partial x^{ik}}\big|{x(p)}\right).$ $ (se puede comprobar que esto está bien definido, independiente de las coordenadas locales $x$.) Si estos estabilizan en algún momento, es decir, $T^{(k+1)}_pM = T^{(k)}_pM$ % todo $p$, entonces estamos listos. Esto ocurrirá normalmente cuando el espacio osculating $k^\text{th}$ de $\Bbb R^n$; pero si es un % fijo $m$-dimensional subespacio como $p$ varía, entonces $M$ miente en un afín $m$ el plano.