$\int_{0}^{\pi/2} \text{arctanh}(\sin x) \text{arctan}(a \tan(x)) \cos(x) \ dx$

Question

¿Es usted amable de hacerme saber el camino? Por cierto, no tiene una "curiosidad" de la etiqueta? $$\int_{0}^{\pi/2} \text{arctanh}(\sin x) \text{arctan}(a \tan(x)) \cos(x) \ dx, \quad a>0$$

Answer 1

$$\forall a>0,\quad\int_{0}^{\pi/2}\text{artanh}(\sin x)\,\arctan(a\,\tan(x))\cos(x)\ dx=\\\frac\pi2\Re\left(\ln\left(2\,a^{-1}+2\right)-\frac{\ln\left(2\sqrt{a^{-4}-a^{-2}}+2\,a^{-2}-1\right)}{2 \sqrt{1-a^2}}\right),$$ donde $\Re$ denota la parte real.