¿Cuándo la convergencia de subsecuencias implica convergencia de secuencia?

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico compacto y $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia en $X$ $(a_{n_i})_{i \in \mathbb{N}}$ ser convergente larga (sabemos que existe porque $X$ es compacto). Denotar por $l$ de su límite. Mi pregunta es:

Supongamos que, para cada entero $k \geq 0$, el subsequence $(a_{n_i+k})_{i \in \mathbb{N}}$ $(a_n)$ converge a $l$. Es necesario que el $(a_n)$ también converge a $l$?

Creo que esto es cierto, pero no podía demostrarlo jugando con el $\epsilon - \delta$ definición de límite. Alguna ayuda?

Gracias de antemano!

Answer 1

Esto no es cierto. Definir una secuencia $(a_n)$ por $$ a_n = n - 2^{\lfloor \log_2(n)\rfloor} $$ es decir, la diferencia entre el $n$ y el mayor poder de $2$ menos de lo que es. Luego de la larga a lo largo de los poderes de $2$ converge trivialmente, y cualquier desplazamiento de esta larga también converge, pero toda la secuencia ha arbitrariamente grandes términos.

EDIT: se me olvidó la condición de que el subsequential límites tiene que ser el mismo. Esto es fácil de corregir, aunque por la multiplicación por una secuencia que va de cero lentamente. Tomemos, por ejemplo $$ a_n = \frac{n - 2^{\lfloor \log_2(n)\rfloor}}{n} $$

Answer 2

Tu conjetura es falsa

Construya la secuencia original en lotes, donde$n$ th batch consta de n ceros seguido de un único 1, es decir, la secuencia es 010010001 ... Supongamos ahora que su subsecuencia selecciona el primer cero en cada lote. Para cada k fija, la subsecuencia traducida será eventualmente cero, pero la secuencia en sí misma no converge.