Si $z$ es un número complejo tal que $$|z-\varepsilon|\leq1\quad\mbox{ and}\quad |z-\varepsilon^{2}|\leq1$$ donde $\varepsilon \neq 1$ es la 3ª raíz de la unidad. Demuestra que $|z| \leq 1$ .
No sé cómo empezar. ¿Alguna idea?
Enfoque algebraico. Tenemos que
$$2=1+1\geq |z-\epsilon|^2+|z-\epsilon^2|^2=(|z|^2-2\mbox{Re}(\overline{z}\epsilon)+1)+(|z|^2-2\mbox{Re}(\overline{z}\epsilon^2)+1)$$ (recordemos que $|\epsilon|=1$ ) que implica $$|z|^2\leq\mbox{Re}(\overline{z}(\epsilon+\epsilon^2))=-\mbox{Re}(\overline{z})\leq |z|$$ donde utilizamos el hecho de que $1+\epsilon+\epsilon^2=0$ (porque $\epsilon$ es una raíz primitiva de la unidad).
Por lo tanto, $|z|\leq 1$ .
P.D. Tenga en cuenta que $0\leq |z|^2\leq-\mbox{Re}(\overline{z})=-\mbox{Re}(z)$ implica que $\mbox{Re}(z)\leq 0$ .
Puedes hacer el álgebra pero creo que hay un bonito argumento geométrico: observa que ambos puntos $\;\epsilon,\,\epsilon^2\;$ están en el círculo unitario canónico, y los dos vectores correspondientes desde el origen a estos dos puntos hacen: $\;\epsilon\;$ hace $\;2\pi/3\;$ radianes $\;=120^\circ\;$ con la dirección positiva del $\;x\,-$ (o eje real, como desee), mientras que $\;\epsilon^2\;$ hace $\;4\pi/3\;$ radianes $\;=240^\circ\;$ .
Como la distancia directa entre estos dos puntos es $\;\sqrt3>1\;$ los únicos puntos que podrían cumplir ambas condiciones y no cumplir $\;|z|\le1\;$ son los que están en el eje negativo y a la izquierda de $\;-1\;$ pero luego $\;z=x<-1\;$ y por lo tanto
$$|z-\epsilon|=\sqrt{\left(x-\frac12\right)^2+\frac34}>\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\frac34}=1$$
por lo que obtenemos una contradicción.
Dejemos que $z=x+iy$ con verdaderos $x,y.$ $$ \text {We have }\quad (x+1/2)^2+(y\pm \sqrt 3 /2)^2\leq 1.$$ $$ \text {Equivalently }\;\; (x+1/2)^2+(\sqrt 3 /2-|y|)^2\leq (x+1/2)^2+(\sqrt 3 /2+|y|)^2\leq 1.$$ $$\text {Now we have }\quad 1\geq (x+1/2)^2+(|y|+\sqrt 3 /2)^2=$$ $$=(x+1/2)^2+|y|^2+|y|\sqrt 3+3/4 \geq (x+1/2)^2+|y|^2+3/4$$ $$ \text {which implies }\quad 1/4\geq (x+1/2)^2+|y|^2.$$ $$ \text {That is,}\quad 1/2\geq |z+1/2|.$$ $$ \text {Therefore }\quad |z|\leq |z+1/2|+|-1/2|\leq 1.$$
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Sus dos primeras ecuaciones significan que $z$ se encuentra en ambos círculos de radio $1$ y centrado en $\epsilon$ y $\epsilon^2$ respectivamente.
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¿Es cierta la conclusión? Yo diría que $|z+1|\le 1$ pero no la desigualdad dada.
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En el futuro, por favor, intenta que los títulos específico a la pregunta . "Problema de álgebra [nivel de grado]" es, por decirlo suavemente, poco informativo.