Integrales iteradas

Question

¿Hay algún ejemplo de una función$f:[a,b]\times[c,d]\to \mathbb R$ para que$\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$ y$\int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$ existan y sean iguales, pero$\int\int f(x,y)\,dy\,dx$ no existe en$[a,b]\times[c,d]$?

He estado tratando de encontrar un ejemplo pero no tengo nada hasta ahora.

Answer 1

La función$f:[-1,1]^2 \to \mathbb{R}$ donde

ps

no es integrable, pero

ps

Considera también

ps

dónde

ps

pero$$f(x,y) = \begin{cases}\frac{xy}{(x^2 +y^2)^2}, \,\,\,\ x^2 + y^2 > 0\\ 0, \,\,\,\, x^2 + y^2 = 0 \end{cases}$ existe solo como una integral incorrecta.

Dejando detalles para ti.