$\sum a_n$ converges$\iff \sum (\sqrt{1+a_n}-1)$ converge

Question

Deje$a_n\in\mathbb{R}_{\geq 0}$ y suponga que$\sum {a_n}^2$ converge. Muestra esa:

$\sum a_n$ converges$\iff \sum (\sqrt{1+a_n}-1)$ converge

Para$\Rightarrow$, creo que necesito mostrar que$\sqrt{1+a_n}-1 \leq {a_n}^2 +a_n$. O algo así ? ¿Algún consejo?

Answer 1

Usando el hecho$ \lim a_n =0$% y la prueba de comparación, tenemos

ps

Luego, mediante la prueba de comparación, ambas series convergen o ambas series divergen.

Answer 2

Deje $M>0$ ser una cota superior de a $\{\sqrt{a_n+1}+1\}$. Tal $M$ existe como tal, $a_n\rightarrow0$ (desde $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2$ converge).

Tenga en cuenta que $$ {\sqrt{a_n+1}-1\sobre a_n} ={1\over\sqrt{a_n+1}+1}. $$ Ahora, desde la $a_n\ge0$, para cada una de las $n$: $$ {1\over M}\le{1\over\sqrt{a_n+1}+1}\le{1\over 2}. $$ Por lo tanto, el uso de la nonnegativity de la $a_n$ nuevo: $$\etiqueta{1} 0\le {a_n\sobre M}\le{ \sqrt{a_n+1}-1}\le{a_n\over 2}. $$ Se desprende de lo $(1)$ y la Prueba de Comparación, que la convergencia de $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ es equivalente a la de $\sum\limits_{n=1}^\infty \bigl(\,\sqrt{a_n+1}-1\,\bigr)$.

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Nota la hipótesis de que la $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2$ es convergente no es necesario (y es redundante para arrancar). La prueba anterior sólo se basa en la $(a_n)$ delimitadas (e $a_n\ge0$ por cada $n$, por supuesto). Este es implícita si cualquiera de las dos series $\sum\limits_{n=1}^\infty \bigl(\,\sqrt{a_n+1}-1\,\bigr)$ , $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ converge.

Answer 3

Por cada$a_n\geqslant0$,$$\tfrac12a_n-\tfrac18a_n^2\leqslant\sqrt{1+a_n}-1\leqslant\tfrac12a_n.$ $ El resultado es el siguiente.

Para probar la doble desigualdad anterior, se estudian las variaciones de las funciones$u$ y$v$ definidas en$\mathbb R_+$ por $$ u (x) = \ sqrt {1 + x} -1- \ tfrac12x, \ qquad v (x) = \ sqrt {1 + x} -1- \ tfrac12x + \ tfrac18x ^ 2. $$ Por ejemplo,$u(0)=0$ y$u'(x)\leqslant0$ para cada$x\geqslant0$, por lo tanto$u(x)\leqslant0$ para cada$x\geqslant0$. Del mismo modo,$v(0)=v'(0)=0$ y$v''(x)\geqslant0$ para cada$x\geqslant0$, por lo tanto,$v(x)\geqslant0$ para cada$x\geqslant0$.