¿Es cierto que un espacio topológico contable en segundo lugar que tiene una cobertura universal debe tener un valor contable$\pi_1$?

Question

Pregunta: ¿hay una segunda contables, conectado localmente trayectoria-conectado, semi-localmente simplemente conectado (y "tal vez" Hausdorff) espacio topológico $X$ tal que $\#\pi_1(X)>\aleph_0$?

Interesante historia de la cuestión: yo estaba haciendo un ejercicio que se pide demostrar que un Hausdorff localmente compacto, de segunda contables, conectado topológico colector debe tener contables fundamentales del grupo. Mi idea fue la observación de que, por Poincaré-Volterra teorema, su cobertura universal es segundo contable, de modo que sus fibras son contables.

Sin embargo, el ejercicio insinuó hacia de una manera más directa, y de alguna manera visual, prueba, lo cual me decidí a seguir. Chistes sobre mí, el trabajo que implica (en mi opinión) de forma demasiado. De hecho, sólo por "seguir las instrucciones", que terminó con sólo N2 y la "triple conexión" hipótesis " que garantiza la existencia de la universal que cubre. Ni siquiera T2, en realidad. Quería estar seguro de que yo estaba equivocado, antes de sumergirse de nuevo en el, sin embargo.

Answer 1

El grupo fundamental debe ser contables en su situación. He aquí una prueba, que tiene una buena visualización en mi cabeza desde que he inventado, aunque al final su más fácil escribir la prueba de dibujar la imagen.

A partir de su hipótesis, $X$ tiene una contables base $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ consta de ruta conectada, abrir los conjuntos para los cuales la inclusión inducida por homomorphism $\pi_1(U_i) \to \pi_1(X)$ es trivial. También, dada una base de dos elementos $U_i,U_j$, su intersección consiste en countably muchos de los componentes de la ruta, denotan ellos $$U_i \cap U_j = \cup_{k=1}^\infty V_{ij}^k$$ Los puntos de recogida $p_i \in U_i$$q_{ij}^k \in V_{ij}^k$. Declarar uno de los $p$'s para ser el punto de base, decir $p_1 \in U_1$.

Por cualquier camino cerrado $\gamma : [0,1] \to X$$p_1$, por el número de Lebesgue lema podemos subdividir $$0=x_0 < x_1 < ... < x_M=1$$ de manera que para cada $m=1,...,M$ el camino de $\gamma[x_{m-1},x_m]$ tiene una imagen en una de las $U_i$'s, llame a es $U_{i_m}$. Vamos a suponer $i_1=i_M=1$.

Vamos a hacer un preliminar de la ruta homotopy en $\gamma$, con lo que se consiguen los siguientes efectos: denotando $y_m = \frac{x_{m-1}+x_m}{2}$ que es el punto medio del intervalo de $[x_{m-1},x_m]$, podemos suponer que la $\gamma(y_m) = p_{i_m}$$2 \le m \le M-1$. Para lograr esto, la corte $\gamma$ $y_m$ y, a continuación, insertar un nuevo camino que por primera vez viaja a lo largo de un camino en $U_{i_m}$ $\gamma(y_m)$ $p_{i_m}$y luego hacia atrás a lo largo de la misma ruta.

Siguiente, tenga en cuenta que tenemos una intersección no vacía $U_{i_{m-1}} \cap U_{i_m} \ne \emptyset$ debido a que contiene el punto de $\gamma(x_m)$. Deje $V_{i_{m-1} i_m}^{k_m}$ ser el componente de la ruta de la intersección que contiene $\gamma(x_m)$.

Ahora voy a construir una contables de la colección de "cerrado" caminos del modelo" basado en $p_1$, y voy a elegir a uno de los caminos que es el camino homotópica a $\gamma$.

Para cada una de las $i,j,k$ tal que $V_{ij}^k \ne \emptyset$ deje $\delta_{ij}^k$ ser la concatenación de una ruta en $U_i$ $p_i$ $q_{ij}^k$con una ruta de acceso en $U_j$$q_{ij}^k$$p_j$. Desde las inclusiones de $U_i$ $U_j$ a $X$ inducir trivial mapas en los grupos, se deduce que la ruta de acceso homotopy clase de $\delta_{ij}^k$ está bien definido. Hay countably muchas de las $\delta$'s, y así la colección de rutas obtenidas mediante la concatenación de una secuencia finita de la $\delta$s'es contable. Estos son los "caminos del modelo".

Así que ahora sólo tenemos que mostrar que $\gamma$ es el camino homotópica a la ruta $$\delta_{i_1i_2}^{k_2} * ... * \delta_{i_{m-1}i_m}^{k_m}$$ Para ese propósito, para cada una de las $m=1,...,M-1$ escoger un camino de $\eta_m$ $V_{i_{m-1}i_m}^{k_m}$ desde el punto de $\gamma(x_m)$ hasta el punto de $q_{i_{m-1}i_m}^{k_m}$, y, a continuación, cortamos $\gamma$ $x_m$ e inserte una copia de $\eta_m \bar\eta_m$. De ello se desprende que $\gamma$ es el camino homotópica a $$\underbrace{(\gamma[x_0,x_1] \, \eta_1 \, \bar\eta_1 \, \gamma[x_1,y_2])}_{\delta_{i_1i_2}^{k_2}} * \underbrace{\gamma[y_2,x_2] \, \eta_2 \, \bar\eta_2 \, \gamma[x_2, y_3])}_{\delta_{i_2i_3}^{k_3}} * ... * \underbrace{(\gamma[y_{m-1},x_{m-1}] \, \eta_{m-1} \, \bar\eta_{m-1}\, \gamma[x_{m-1}que x_m])}_{\delta_{i_{m-1}i_m}^{k_m}}$$

Answer 2

Este es un trabajo para topológico fundamentales de los grupos. De hecho, uno puede debilitar la hipótesis un poco para incluir algunos no-localmente ruta-espacios conectados.

Teorema: Si $X$ es segundo contable y admite conecta simplemente a cubrir el espacio, a continuación, $\pi_1(X,x)$ es contable.

Deje $\Omega(X,x)$ ser la base de bucle espacio de $X$ con el compacto-abierta de la topología. Deje $\pi_{1}^{qtop}(X,x)$ ser el grupo fundamental equipado con la topología cociente con respecto a la mapa $q:\Omega(X,x)\to\pi_{1}^{qtop}(X,x)$, $q(\alpha)=[\alpha]$ la identificación de homotopy clases de bucles. Advertencia: $\pi_{1}^{qtop}(X,x)$ es un quasitopological grupo (en particular es homogéneo), pero no puede ser un grupo topológico.

Reivindicación 1: $\pi_{1}^{qtop}(X,x)$ es separable.

Prueba. Desde $S^1$ es localmente compacto Hausdorff y $X$ es segundo contable, $\Omega(X,x)$ es segundo contable (ver Engelking 3.4.16). Cada segundo contables espacio es separable y cada imagen continua de un separable espacio es separable. Por lo tanto, $\pi_{1}^{qtop}(X,x)$ es separable.

Reivindicación 2: $\pi_{1}^{qtop}(X,x)$ es discreto.

Prueba. Los detalles son un poco técnico, pero es sabido que una cubierta mapa (y aún más general de un semicovering mapa) $p:\tilde{X}\to X$ induce un homomorphism $p_{\#}:\pi_{1}^{qtop}(\tilde{X},\tilde{x})\to \pi_{1}^{qtop}(X,x)$, que está también abierta la incrustación. Si $p$ es la cobertura universal, a continuación, $\pi_{1}^{qtop}(\tilde{X},\tilde{x})=1$ es la trivial grupo discreto. Desde el subgrupo trivial $p_{\#}(\pi_{1}^{qtop}(\tilde{X},\tilde{x}))=1$ es abierto y $\pi_{1}^{qtop}(X,x)$ es homogénea, $\pi_{1}^{qtop}(X,x)$ es un grupo discreto. En virtud de su original supuestos de la simplificación de los argumentos en este documento suficiente para probar la Reivindicación 2.

La prueba del Teorema. Cada separable espacio discreto es contable.