El grupo fundamental debe ser contables en su situación. He aquí una prueba, que tiene una buena visualización en mi cabeza desde que he inventado, aunque al final su más fácil escribir la prueba de dibujar la imagen.
A partir de su hipótesis, $X$ tiene una contables base $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ consta de ruta conectada, abrir los conjuntos para los cuales la inclusión inducida por homomorphism $\pi_1(U_i) \to \pi_1(X)$ es trivial. También, dada una base de dos elementos $U_i,U_j$, su intersección consiste en countably muchos de los componentes de la ruta, denotan ellos
$$U_i \cap U_j = \cup_{k=1}^\infty V_{ij}^k
$$
Los puntos de recogida $p_i \in U_i$$q_{ij}^k \in V_{ij}^k$. Declarar uno de los $p$'s para ser el punto de base, decir $p_1 \in U_1$.
Por cualquier camino cerrado $\gamma : [0,1] \to X$$p_1$, por el número de Lebesgue lema podemos subdividir
$$0=x_0 < x_1 < ... < x_M=1
$$
de manera que para cada $m=1,...,M$ el camino de $\gamma[x_{m-1},x_m]$ tiene una imagen en una de las $U_i$'s, llame a es $U_{i_m}$. Vamos a suponer $i_1=i_M=1$.
Vamos a hacer un preliminar de la ruta homotopy en $\gamma$, con lo que se consiguen los siguientes efectos: denotando $y_m = \frac{x_{m-1}+x_m}{2}$ que es el punto medio del intervalo de $[x_{m-1},x_m]$, podemos suponer que la $\gamma(y_m) = p_{i_m}$$2 \le m \le M-1$. Para lograr esto, la corte $\gamma$ $y_m$ y, a continuación, insertar un nuevo camino que por primera vez viaja a lo largo de un camino en $U_{i_m}$ $\gamma(y_m)$ $p_{i_m}$y luego hacia atrás a lo largo de la misma ruta.
Siguiente, tenga en cuenta que tenemos una intersección no vacía $U_{i_{m-1}} \cap U_{i_m} \ne \emptyset$ debido a que contiene el punto de $\gamma(x_m)$. Deje $V_{i_{m-1} i_m}^{k_m}$ ser el componente de la ruta de la intersección que contiene $\gamma(x_m)$.
Ahora voy a construir una contables de la colección de "cerrado" caminos del modelo" basado en $p_1$, y voy a elegir a uno de los caminos que es el camino homotópica a $\gamma$.
Para cada una de las $i,j,k$ tal que $V_{ij}^k \ne \emptyset$ deje $\delta_{ij}^k$ ser la concatenación de una ruta en $U_i$ $p_i$ $q_{ij}^k$con una ruta de acceso en $U_j$$q_{ij}^k$$p_j$. Desde las inclusiones de $U_i$ $U_j$ a $X$ inducir trivial mapas en los grupos, se deduce que la ruta de acceso homotopy clase de $\delta_{ij}^k$ está bien definido. Hay countably muchas de las $\delta$'s, y así la colección de rutas obtenidas mediante la concatenación de una secuencia finita de la $\delta$s'es contable. Estos son los "caminos del modelo".
Así que ahora sólo tenemos que mostrar que $\gamma$ es el camino homotópica a la ruta
$$\delta_{i_1i_2}^{k_2} * ... * \delta_{i_{m-1}i_m}^{k_m}
$$
Para ese propósito, para cada una de las $m=1,...,M-1$ escoger un camino de $\eta_m$ $V_{i_{m-1}i_m}^{k_m}$ desde el punto de $\gamma(x_m)$ hasta el punto de $q_{i_{m-1}i_m}^{k_m}$, y, a continuación, cortamos $\gamma$ $x_m$ e inserte una copia de $\eta_m \bar\eta_m$. De ello se desprende que $\gamma$ es el camino homotópica a
$$\underbrace{(\gamma[x_0,x_1] \, \eta_1 \, \bar\eta_1 \, \gamma[x_1,y_2])}_{\delta_{i_1i_2}^{k_2}} * \underbrace{\gamma[y_2,x_2] \, \eta_2 \, \bar\eta_2 \, \gamma[x_2, y_3])}_{\delta_{i_2i_3}^{k_3}} * ... * \underbrace{(\gamma[y_{m-1},x_{m-1}] \, \eta_{m-1} \, \bar\eta_{m-1}\, \gamma[x_{m-1}que x_m])}_{\delta_{i_{m-1}i_m}^{k_m}}
$$
