Encontrar la forma canónica de Jordan de una matriz$6 \times 6$

Question

Encontrar la Forma Canónica de Jordan de la matriz $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$$

Yo: puedo ir sobre la búsqueda de la Jordania de Base para esta matriz. Está claro que $1$ es el único autovalor de la matriz. Por lo que $$A-I=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ \end{bmatrix}$$

Además Rango$(A-I)^2=1$. Además Rango$(A-I)^3=0$ . Así que no necesitamos ir más allá de la evaluación de las competencias de las matrices en nuestra búsqueda de vectores propios generalizados. $$(A-I)^2=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$$

También se $(A-I)^3=0$.

Se ve que la generalizada espacio propio (es decir $U$) se compone de

$U$=span$\{v_1=(0,1,0,0,0,0)^t,v_2=(0,0,1,0,0,0)^t,v_3=(0,0,0,1,0,0)^t,v_4=(0,0,0,0,1,0)^t,v_5=(0,0,0,0,0,1)^t\}$

Aquí me encuentro con un pequeño problema. Desde $(A-I)v_i=v_5$ por cada $i=1,2,3,4$, sólo tengo cinco vectores conmigo para el Canónica de Jordan. Por otra parte no se puede elegir cualquier otro arbitraria de vectores linealmente independientes de estos cuatro, simplemente porque si $v$ eran de un vector , entonces no es $i \gt 0$ (y entero) tal que $(A-I)v^{i}=0$

También tengo otra pregunta aquí. Desde $(A-I)^3=0$, ¿por qué no elegir el general eigen vectores correspondientes a $(A-I)^3$??

Estoy un poco atascado aquí.

Gracias por la ayuda!!!

Answer 1

De rango de cálculos: hay cuatro linealmente independiente de vectores propios ($rank(I-A)=2$), por lo tanto cuatro bloques de Jordan. El nilpotence índice de $I-A$ es de tres, por lo tanto el más grande de Jordania bloque tiene un tamaño $3\times 3$. Por lo tanto, el resto de los bloques se $1\times 1$ bloques.

Usted necesita un vector $v_6$ que satisface $$ (I-A)^3 v_6=0, \ (I-A)^2v_6\ne0. $$ Tomar $$ v_6=\pmatrix{1&0&0&0&0&0}. $$ A continuación, $(I-A)^2v_6, (I-A)v_6$ están en el Jordán base, que son $$ (I-A)^2v_6 = \pmatrix{0&0&0&0&0&1}^T=v_5, \\ (I-A)v_6 = \pmatrix{0&1&1&1&1&1}^T=:v_7. $$ Ahora tiene tres vectores linealmente independientes. Complemento de este conjunto de tres vectores propios para formar una base, por ejemplo $$ \pmatrix{0&1&-1&0&0&0}^T, \pmatrix{0&1&0&-1&0&0}^T, \pmatrix{0&1&0&0&-1&0}^T. $$ Colocarlos en el orden correcto para obtener el Jordán.