Intersección de un campo numérico con un campo ciclotómico

Question

Permita que$K$ sea un campo numérico y$N$ un entero positivo. Demuestre que si el discriminante absoluto de$K$ es coprime a$N$, entonces$K \cap \mathbb{Q}[\zeta_{N}]=\mathbb{Q}.$

Esto es algo que el libro de Childress sobre CFT deja bastante vago al probar el lema de Artin. Me gustaría ver una prueba si es posible.

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Si $L$ es un intermedio de la extensión de $E$$F$, e $\Delta_{N/M}$ denota el discriminante de $N$$M$, luego $$\Delta_{E/F} = N^{L}_F(\Delta_{E/L})\Delta_{L/F}^{[E:L]},$$ donde $N^L_F(\cdot)$ es la norma mapa de$L$$F$.

En particular, el discriminante de $L/F$ divide el discriminante de $E/F$.

Deje $L = K\cap\mathbb{Q}(\zeta_N)$. Entonces el discriminante de $L$ $\mathbb{Q}$ tiene que dividir el discriminante de $K$, y también se ha de dividir el discriminante de $\mathbb{Q}(\zeta_N)$.

El discriminante de $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ es $$(-1)^{\varphi(N)/2}\left(\frac{N^{\varphi(N)}}{\prod\limits_{p|N}p^{\varphi(N)/(p-1)}}\right).$$ En particular, sólo puede ser divisible por los números primos que dividen a $N$.