El derivado$43$ rd de$\sin(x^{13}+x^{15})$ | Cálculo 1

Question

Una pregunta de una prueba de mi profesor sobre cálculo 1: Encuentre el derivado$43$ rd de$\sin(x^{13}+x^{15})$ en$x=0$.

Cualquier idea que tuve no funcionó, por cierto, buena suerte para mí en la prueba de la próxima semana: X

Answer 1

Expanda$\sin(x)$ alrededor de cero para obtener:$$\sin(x)\sim x-\frac{x^3}{6}$ $$$\sin(x^{13}+x^{15})\sim x^{13}+x^{15}-\frac{x^{39}}{6}-\frac{x^{41}}{2}-\frac{x^{43}}{2}-\frac{x^{45}}{6}+O\left(x^{46}\right)$ $ Tome el derivado$43$ 'rd para obtener:$$-43!/2$ $

Answer 2

Primero de todo el Uso de la trigonometría característicos $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ expandir $\sin(x^{13}+x^{15})$.Aquí es$$\sin(x^{13}+x^{15})=\sin x^{13}\cos x^{15}+\cos x^{13}\sin x^{15}$$

Un poco de teoría para empezar.

Usted puede utilizar Leibnitz del teorema de $nth$ derivado de un producto de dos funciones.Si $y=u v$donde $u$ $v$ son funciones de la $x$,luego$$y\prime=u v\prime+v u\prime$$where $v\prime=\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{d} x}$ and $u\prime=\frac{\mathrm{du} }{\mathrm{d} x}$ and $y\prime\prime=u v\prime\prime+v\prime u\prime+v u\prime\prime+u\primer v\prime=u\prime\prime v+2 u\primer v\prime+u v\prime\prime$.I would encourage you to get crazy and differentiate this (with a slight change in notation from $u\prime$ to $u^{(4)}$(fourth derivative)) as much as you want till you start seeing a pattern in which you will notice that in each case the superscript of $u$ decreases regularly by 1 and the superscript of $v$ regularmente aumenta en 1 y el numéricos de los coeficientes son los normales de los coeficientes binomiales.

Con eso se dice que el $nth$ derivado puede ser calculada usando el teorema del binomio.Me refiero a $(u v)^{(n)}$ puede ser obtenida mediante la expansión de $(u + v)^{(n)}$, lo que conduce a Leibnitz del teorema$$y^{(n)}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}u^{(n-r)}v^{(r)}$$

Ahora el uso de la fórmula anterior para calcular el $43rd$ derivado seperataly y ver lo que se obtiene.