¿Cómo mostrar que$f(x)=|x|/x$ no tiene ningún límite como$x\to0$?

Question

$f(x)$ no converge para cualquier $L$ $x\to a$ si para cada a $L$ hay $\epsilon>0$ tal que para todos los $\delta>0$ hay $x$ tal que $0<|x-a|<\delta$$|f(x)-L|\geq\epsilon$.

Quiero demostrar que

$$ f(x)=\frac{|x|}{x}=\begin{cases} 1,&x>0\\ -1,&x<0 \end{casos} $$ no converge para cualquier $L$ $x\to0$ utilizando la definición anterior.

Esto es lo que hice: Fix $L$ y tome $\epsilon=\frac{1}{2}$. Para cualquier $\delta>0$ hay $x$ tal que $0<|x-0|<\delta$ y

$$ |f(x)-L|=\begin{cases} |1-L|,&x>0\\ |-1-L|,&x<0 \end{casos}= \begin{cases} |1-L|,&x>0\\ |1+L|,&x<0 \end{casos} $$

pero no estoy seguro de cómo debo mostrar que $|f(x)-L|\geq\frac{1}{2}=\epsilon$.

Answer 1

Solo tiene que encontrar un punto$x_0$ en$(-\delta, \delta)$ tal que$|f(x_0) - L| \geq 1/2$. Digamos que primero suponemos que$L \geq 0$ - ¿podría encontrar un punto que hiciera el truco?

Answer 2

Si$L \ge 0$ podemos elegir$x\in(-\delta/2,0)$ para que$|f(x)-L| = |-1-L| = L+1 > 1/2$
Si$L < 0$ podemos elegir$x \in (0,\delta/2)$ para que$|f(x)-L| = |1-L| > |1-0| = 1 > 1/2$

Answer 3

Has hecho todo. Ahora bien, si$L$ es mayor que cero, elija un$x<0$. Entonces deberá tener$|f(x)-L|= |1+L|>\frac{1}{2}$ y de manera similar para$L<0$ elegir un$x>0$ y tendrá el resultado usando argumentos similares.

Answer 4

Usando Secuencias:

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = c$ Si

cualquier secuencia$(x_n)_{n\in \mathbb{N} }$ con

$ \lim_{n \rightarrow \infty } x_n = a$ implica

$\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n) = c$.

Escoger:

$x_n = 1/n$ y donde

$y_n = - 1/n$.

$n \in \mathbb{N^+}$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n =$;

$ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n = 0$;

$\lim x_{ n \rightarrow \infty} f(x_n) = 1$.

El límite no existe.

Answer 5

Por contradicción: supongamos$L=\lim_{x\to 0}f(x).$ Then$$\forall s>0\;\exists r>0 \;\forall x\; (\;|x|<r\implies |f(x)-L|<s\;)\implies$$ $$\implies \exists r>0\;\forall x\;(\;|x|<r\implies |f(x)-L|<1\;)\implies$$ $$\implies \exists r>0\;(\;|f(r/2)-L|<1\;\land \;|f(-r/2)-L|<1\;) \implies$$ $$\implies \exists r>0\; (\;2=|f(r/2)-f(-r/2)|=$$ $ ps