Permita que$X$ sea un espacio compacto y simplemente conectado y$\gamma_1, \gamma_2 : [0,1] \to X$ sean dos rutas (homotópicas) simples entre dos puntos diferentes$x,y \in X$. ¿Existe un homeomorfismo$\varphi : X \to X$ tal que$\varphi \circ \gamma_1= \gamma_2$?
Respuestas
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Xalloumokkelos
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Una respuesta positiva viene dada por el teorema de extensión de isotopía para variedades uniformes sin límite: si dos incrustaciones suaves de un intervalo son isotópicas, entonces hay un difeomorfismo de$X$ que las intercambia. Si la dimensión de$M$ es$\geq 4$, dos incrustaciones de un intervalo son isotópicas si son homotópicas.
Permita que$X$ sea un disco cerrado, permita que$x$ y$y$ sean dos puntos en su límite, permita que$\gamma_1$ sea una ruta de$x$ a$y$ a lo largo del límite, y permita que$\gamma_2$ sea una ruta de$x$ a$y$ a través del interior del disco. Un homeomorfismo del disco sobre sí mismo lleva el límite al límite, por lo que no puede enviar$\gamma_1$ a$\gamma_2$.
jasonjwwilliams
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Yo no lo creo. Deje $X = S^2\vee S^3$, el punto de unión de $S^2$$S^3$. Dado que tanto $S^2$ $S^3$ son compactos y simplemente se conecta, por lo que es $X$. Deje $\gamma_1$ ser un camino de $S^2$ (comenzando en el punto de la cuña, si quieres) y $\gamma_2$ un camino de $S^3$.
Yo afirmación de que no hay homeomorphism $\phi$ moviendo $\gamma_1$$\gamma_2$. El punto es que cualquier homeomorphism de $X$ debe enviar el punto de la cuña a sí mismo, y esto implica la $S^2$ debe ser enviada a sí mismo y de la misma manera el $S^3$ debe ser enviada a sí mismo.
