Integración (transformada de Fourier)

Question

$\mathrm{Re}(i) = 0$, pero la transformación de Fourier de$f(x) = e^{-ix^2}$ es$g(\alpha) = \sqrt{\pi\over i}\times e^{i\alpha^2 \over 4}$, ¿no es así?

¿Es fácil mostrar que es así, conociendo la transformada de Fourier de$h(x) = e^{-x^2}$? (Es $k(\alpha) = \sqrt\pi\times e^{-\alpha^2 \over 4}$.)

Se tiene en cuenta la transformada de Fourier de frecuencia angular no unitaria.

Answer 1

No estoy seguro de un libro de texto, pero te puedo decir que una manera simple de mostrar que

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \: e^{-i x^2} = \sqrt{\frac{\pi}{i}} = \sqrt{\pi} e^{-i \frac{\pi}{4}} $$

es considerar la integral

$$\oint_{C_R} dz \: e^{-z^2} $$

donde $C_R$ consiste en el intervalo de $[0,R]$ a lo largo de la $\Re{z}$ eje, un arco circular de radio $R$ centrada en el origen, con extremos en$(R,0)$$(R,R)/\sqrt{2}$, y el segmento de la línea de $(R,R)/\sqrt{2}$ a la de origen. Tenga en cuenta que no hay polos en el interior de $C_R$, para cualquier valor de $R$. A continuación, tomar el límite de $R \rightarrow \infty$ y observe que la integral a lo largo del arco circular se desvanece. Aplicar la Integral de Cauchy Teorema, y el resultado deseado se muestra.

Tenga en cuenta que este análisis se aplica a la transformada de Fourier de una función así, como todos los de la transformación de la pieza que hace es cambiar el centro de la cuadrática en la exponencial. La pieza que es la transformación se deja fuera de la integral y no cambio este análisis.

EDITAR

Para ser explícitos, podemos escribir

$$\begin{align} \oint_{C_R} dz \: e^{-z^2} &= 0 \\ &= \int_0^R dx \: e^{-x^2} + i R \int_0^{\pi/4} d \phi e^{i \phi} e^{-R^2 \exp{(i 2 \phi)}} + e^{i \pi/4} \int_R^0 dt \: e^{-i t^2} \end{align} $$

La 2ª integral desvanece como $R \rightarrow \infty$ debido a que el término exponencial en el exponente no cambia de signo dentro de la integración de la región. Podemos entonces concluir que

$$\int_0^{\infty} dx \: e^{-x^2} = \sqrt{i} \int_0^{\infty} dt e^{-i t^2}$$

o

$$\int_{-\infty}^{\infty} dt \: e^{-i t^2} = \sqrt{\frac{1}{i}} \int_{-\infty}^{\infty} dx \: e^{-x^2} = \sqrt{\frac{\pi}{i}} $$

Answer 2

La transformada de Fourier de $f(x) = \exp(-ix^2)$ no existe en el sentido usual de la palabra. Tenga en cuenta que $f \notin L^1$.

Sin embargo, la función de $f$ es acotada y continua y, como tal, puede ser identificado con una base de distribución, por lo $\hat f$ existe, también, como una base de distribución. Trabajando en los detalles, que en realidad terminan con

$$\hat f(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} (1-i) e^{i\omega^2/4}$$

que es lo mismo que lo que usted ha escrito, con una adecuada interpretación de $\sqrt{i}$. El enfoque propuesto por la rlgordonma es probablemente la manera más fácil para llegar al resultado.