Descomponer una matriz en binarios

Question

Deje$A$ denotar el conjunto de todas las matrices binarias 3 × 2 (las que contienen solo 0 y 1) en las que la suma de cada columna se suma a 2. ¿Puedo descomponer $$ B = \begin{bmatrix} 3/4 & 1/2 \\ 3/4 & 3/4 \\ 1/2 & 3/4 \end {bmatrix } $$ en una combinación lineal de matrices en$A$? Por ejemplo,$$B=1/2 \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix} + 1/2 \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$ $ o algo así.

EDITAR: Quiero mostrar que hay al menos una matriz que no se puede descomponer. ¿Qué hay de $$ C = \begin{bmatrix} 3/4 & 2/3 \\ 3/4 & 2/3 \\ 1/2 & 2/3 \end {bmatrix} $$

Answer 1

Hay exactamente$9$% matrices en$A$. La dimensión del espacio vectorial$V$ de$3\times 2$ matrices es$6$.

El rango de la matriz (formado poniendo cada matriz de$A$ en una fila) $$ \begin{pmatrix} 1&1&0&1&1&0\\ 1&1&0&1&0&1\\ 1&1&0&0&1&1\\ 1&0&1&1&1&0\\ 1&0&1&1&0&1\\ 1&0&1&0&1&1\\ 0&1&1&1&1&0\\ 0&1&1&1&0&1\\ 0&1&1&0&1&1 \end {pmatrix} $$ es$5$, y esto significa que$A$ no lo hace generar$V$. La otra respuesta muestra que, sin embargo, la matriz particular$B$ es generada por$A$.

Answer 2

Multiplica$B$ por cuatro:$$4B=\begin{bmatrix}3&2\\3&3\\2&3\end{bmatrix}$ $ Encontrar una descomposición en matrices en$A$ es entonces fácil:$$4B=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\\1&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&1\\1&1\\1&0\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{bmatrix}$ $$$B=\frac14\begin{bmatrix}1&1\\0&0\\1&1\end{bmatrix}+\frac14\begin{bmatrix}0&1\\1&1\\1&0\end{bmatrix}+\frac12\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{bmatrix}$ $

Answer 3

Para el alcance de su pregunta, hablando de las matrices de $3 \times 2$ o vectores $6 \times 1$ es exactamente la misma cosa.

Así que la pregunta se traduce en:
En 6D, dado un vector, puede que me descompone en una combinación lineal de los vectores binarios tener $2$ en los tres primeros componentes, y $2$ en los últimos tres ?

Hay $9$ diferentes vectores de referencia, y por lo tanto la cuestión es comprender si se puede formar una base para $\mathbb{R}^6$.

Como ya se ha dicho en una respuesta anterior, el valor de la resultante $6 \times 9$ matriz $\mathbf{A}$ (cuyas columnas son las nueve diferentes vectores) es $5$, por lo que no puede representar a cualquiera de vectores en $\mathbb{R}^6$, pero sólo los vectores que pertenecen a un determinado $5$D subespacio de.

El nulo espacio de $\mathbf{A}^T$ es el vector de la $\mathbf {n} = (-1,-1,-1,1,1,1)^T$, como es fácil comprobar.
Eso significa que todos los nueve vectores son ortogonales a este, y para que abarcan el subespacio ortogonal a que.

La conclusión es que se puede representar cualquier vector de la mentira en que el subespacio, es decir, tal que la suma de su mitad superior es igual a la de la mitad inferior, es decir, cualquier matriz $3 \times 2$ ($\mathbf B$), tal que la suma de sus columnas es el mismo.
El ejemplo de $\mathbf B$ que te dan es uno de esos.