Encontrar el valor máximo de $\int_{0}^{1}\left(f(x)\right)^3dx$

Question

Encuentre el máximo valor posible de $\int_{0}^{1}\left(f(x)\right)^3dx$ dado que $-1\leq f(x)\leq 1$ y que $\int_{0}^{1}f(x)dx=0$ .

Mi intento:

Intenté adivinar tales funciones que pudieran satisfacer todas las condiciones anteriores, pero no pude llegar a ninguna conclusión.

Answer 1

Dejemos que $f\colon [0,1]\to [-1,1]$ sea una función medible que satisface $\int_0^1 f = 0$ , dejemos que $$ E := \{x\in [0,1]:\ f(x) < 0\}, $$ y denotar por $\sigma\in [0,1]$ la medida de Lebesgue de $E$ . No es restrictivo asumir $\sigma > 0$ ya que si $\sigma = 0$ tenemos $f=0$ a.e., que no es un maximizador.

Además, dejemos que $$ f^+ := (|f|+f)/2, \qquad f^- := (|f| - f)/2, $$ para que $f^+, f^-\geq 0$ , $f=f^+ - f^-$ , $|f| = f^++f^-$ . Además, las condiciones $\int_0^1 (f^+-f^-) = 0$ , $0\leq \int_0^1(f^++f^-) \leq 2$ dar $$ A := \int_0^1 f^+ = \int_0^1 f^- \in [0, 1/2], \qquad A = \int_0^1 f^+ \leq 1-\sigma. $$

Desde $\int_0^1 f = 0$ y $|f|\leq 1$ tenemos que $$ \begin{split} \int_0^1 f^3 & = \int_0^1 (f^3+f) = \int_0^1 f(1+f^2) = \int_0^1 (f^+ - f^-)(1+f^2) \\ & = \int_0^1 f^+(1+f^2) - \int_0^1 f^-(1+f^2) \leq 2 \int_0^1 f^+ -\int_0^1 f^- - \int_0^1 (f^-)^3. \end{split} $$ Desde $0 = \int_0^1 f = \int_0^1 f^+ - \int_0^1 f^-$ y, por la desigualdad de Jensen, $$ \int_0^1 (f^-)^3 = \int_E (f^-)^3 \geq \frac{1}{\sigma^2} \left(\int_E f^-\right)^3 = \frac{1}{\sigma^2}\left(\int_0^1 f^+\right)^3, $$ obtenemos $$ \int_0^1 f^3 \leq A - \frac{A^3}{\sigma^2} =: g(\sigma, A). $$ Nos llevan a maximizar la función $g$ en la región $$ B := \{(\sigma, A):\ \sigma \in (0, 1],\ 0\leq A\leq 1-\sigma\}. $$ La función $g$ es continua en $B$ y $g \to -\infty$ como $\sigma\to 0^+$ , por lo que $g$ admite un maximizador en $B$ .

Desde $\frac{\partial g}{\partial \sigma} = 2A^3 / \sigma^3 > 0$ el maximizador debe estar en la frontera de $B$ (excluyendo el segmento con $\sigma = 0$ ). Una comprobación rápida muestra que el maximizador se obtiene para en el lado $A = 1-\sigma$ para $\sigma = 2/3$ Por lo tanto $$ \max_B g = \frac{1}{4} $$ y, finalmente, $$ \int_0^1 f^3 \leq \frac{1}{4}. $$

Por otro lado, toda función $f$ con $f=-1/2$ en un conjunto $E\subset[0,1]$ de medida $2/3$ y $f=1$ en $[0,1]\setminus E$ da $\int_0^1 f^3 = 1/4$ y por lo tanto es un maximizador para el problema original.

Answer 2

Considera: $$f(x)=\begin{cases} 1, a\le x\le 1 \\ -c, 0\le x<a \end{cases}$$ La limitación: $$1-a=-ac \Rightarrow c=\frac{a-1}{a}.$$ La función objetivo: $$S(a,c)=1-a+ac^3 \to max$$ Solución: $$S(a)=1-a+a\left(\frac{a-1}{a}\right)^3=-2+\frac{3}{a}-\frac{1}{a^2}.$$ $$S'=-\frac{3}{a^2}+\frac{2}{a^3}=0 \Rightarrow a=\frac{2}{3}.$$ $$S''(2/3)<0.$$ Por lo tanto: $$S(2/3)=\frac{1}{4} (max).$$

Answer 3

Un enfoque algo más conceptual es el siguiente.

El conjunto de puntos $S=\{(\int_0^1f(x)\,dx,\int_0^1(f(x))^3\,dx): |f(x)|\le 1 \text{ on } [0,1]\}\subset\mathbb R^2$ es exactamente el conjunto de puntos representables como $(E[X],E[X^3])$ para una variable aleatoria $X$ para lo cual $P(|X|\le1)=1$ . Este, a su vez, es el casco convexo del conjunto $C=\{(x,x^3):|x|\le 1\}$ y la respuesta deseada es la $y$ -coordenada de la intersección de la $y$ eje con la envolvente superior de $S$ .

Un croquis debería hacer evidente que la envoltura superior de $S$ es la unión de un trozo de $C$ que se extiende desde $(-1,-1)$ a $p$ y del segmento de línea que une $p$ a $(1,1)$ , donde $p$ es el único punto de tangencia a $C$ de una línea que pasa por $(1,1)$ . El cálculo simple verifica que $p=(-1/2,-1/8)$ . El segmento de línea de $p$ a $(1,1)$ se cruza con el $y$ eje en $(0,1/4)$ de la que se desprende la respuesta $1/4$ se lee.